Лабораторные работы по численным методам. Пак Т.В. - 9 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

n = 3, t
1,3
= ±0, 774597, t
2
= 0, c
1
= c
3
= 5/9, c
2
= 8/9;
n = 4, t
1,4
= ±0, 861136, c
1
= c
4
= 0, 347855,
t
2,3
= ±0, 339981, c
2
= c
3
= 0, 652145.
ε
I
n
n I
2n
|I
n
−I
2n
| ≤ ε, I
2n
ε
n I
4n
I
2n
I
4n
ε
I
n
I
2n
|I
n
−I
2n
| ≤ ε
I
2n
ε
I
2n
I
4n
ε
¯w
h
={x
i
, i=0, N, x
0
=a, x
N
=b, x
i
=x
i−1
+h
i
,
N
P
i=1
h
i
=b −a}
y
i
= f(x
i
), y
0
i
= f
0
(x
i
), i = 0, N
S(x)
S(x) ∈ P
3i
(x) ∀x ∈ [x
i
, x
i+1
], i = 0, N−1
S(x) ∈ C
1
[a,b]
S(x) S
0
(x)
S(x
i
) = f(x
i
) S
0
(x
i
) = f
0
(x
i
) i = 0, . . . , N
[x
i
, x
i+1
]
S(x
i
) = y
i
, S
0
(x
i
) = y
0
i
, S(x
i+1
) = y
i+1
, S
0
(x
i+1
) = y
0
i+1
;
S(x) [x
i
, x
i+1
]
S(x) = y
i
+ y
0
i
(x − x
i
) + a
i
(x − x
i
)
2
2
+ b
i
(x − x
i
)
3
6
,
15. n = 3,  t1,3 = ±0, 774597, t2 = 0, c1 = c3 = 5/9, c2 = 8/9;
16. n = 4,  t1,4 = ±0, 861136, c1 = c4 = 0, 347855,
           t2,3 = ±0, 339981, c2 = c3 = 0, 652145.
     âàðèàíòàõ 16 äëÿ äîñòèæåíèÿ çàäàííîé òî÷íîñòè ε ñíà÷àëà âû÷èñ-
ëèòü In íà îòðåçêå [a,b], çàòåì n óäâîèòü è âû÷èñëèòü I2n . Åñëè âûïîëíåíî
íåðàâåíñòâî |In − I2n | ≤ ε, òî òî÷íîñòü ñ÷èòàåòñÿ äîñòèãíóòîé, è I2n ïðèíè-
ìàåòñÿ çà ïðèáëèæåííîå çíà÷åíèå èíòåãðàëà ñ òî÷íîñòüþ ε, â ïðîòèâíîì
ñëó÷àå n ñíîâà óäâàèâàåòñÿ, ò. å. âû÷èñëÿþò I4n è ñðàâíèâàþò ìåæäó ñîáîé
óæå I2n è I4n è ò. ä.
     âàðèàíòàõ 716 äëÿ äîñòèæåíèÿ çàäàííîé òî÷íîñòè ε ñíà÷àëà âû÷èñ-
ëèòü In íà îòðåçêå [a,b], çàòåì îòðåçîê äåëèòü ïîïîëàì, è ê êàæäîé ïîëî-
âèíå ïðèìåíÿòü êâàäðàòóðíóþ ôîðìóëó ñ çàäàííûì n, ò.å. âû÷èñëèòü I2n .
Åñëè âûïîëíåíî íåðàâåíñòâî |In −I2n | ≤ ε, òî òî÷íîñòü ñ÷èòàåòñÿ äîñòèãíó-
òîé è I2n ïðèíèìàåòñÿ çà ïðèáëèæåííîå çíà÷åíèå èíòåãðàëà ñ òî÷íîñòüþ
ε, â ïðîòèâíîì ñëó÷àå êàæäàÿ ïîëîâèíà îòðåçêà [a,b] äåëèòñÿ ïîïîëàì,
ê êàæäîé ïîëîâèíå ïðèìåíÿåòñÿ êâàäðàòóðíàÿ ôîðìóëà ñ çàäàííûì n è
ñðàâíèâàþòñÿ ìåæäó ñîáîé óæå I2n è I4n è ò. ä. äî òåõ ïîð, ïîêà íå áóäåò
ëèáî äîñòèãíóòà òî÷íîñòü ε ëèáî íå áóäåò ïðîèçâåäåíî çàäàííîå êîëè÷åñòâî
äåëåíèé îòðåçêà [a,b].


Òåìà 5. Ñïëàéíû
1. Ýðìèòîâû êóáè÷åñêèå ñïëàéíû
                                                                       P
                                                                       N
Ïóñòü íà ñåòêå w̄h ={xi , i=0, N , x0 =a, xN =b, xi =xi−1 +hi ,               hi =b − a} çà-
                                                                       i=1
äàíû çíà÷åíèÿ yi = f (xi ), yi0 = f 0 (xi ), i = 0, N .
    Îïðåäåëåíèå. Ýðìèòîâûì êóáè÷åñêèì ñïëàéíîì íàçûâàþò ôóíêöèþ
S(x), óäîâëåòâîðÿþùóþ óñëîâèÿì:
1. S(x) ∈ P3i (x) äëÿ ∀x ∈ [xi , xi+1 ], i = 0, N −1,
             1
2. S(x) ∈ C[a,b] , (ò.å. íåïðåðûâíû S(x) è S 0 (x) âî âíóòðåííèõ óçëàõ),
3. S(xi ) = f (xi ), S 0 (xi ) = f 0 (xi ), i = 0, . . . , N .
    Ýðìèòîâû ñïëàéíû ÿâëÿþòñÿ ëîêàëüíûìè. Äëÿ èõ âû÷èñëåíèÿ íà îò-
ðåçêå [xi , xi+1 ] äîñòàòî÷íî èñïîëüçîâàòü òðåòüå óñëîâèå îïðåäåëåíèÿ:
S(xi ) = yi , S 0 (xi ) = yi0 , S(xi+1 ) = yi+1 , S 0 (xi+1 ) = yi+1
                                                                 0
                                                                     ;
òîãäà S(x) íà îòðåçêå [xi , xi+1 ] ìîæíî çàïèñàòü:

                                               (x − xi )2      (x − xi )3
              S(x) = yi + yi0 (x − xi ) + ai              + bi            ,
                                                   2               6

                                         9

Страницы