ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
З А Н Я Т И Е 13
ДИСКРЕТНЫЕ МАРКОВСКИЕ ФУНКЦИИ
П р и м е р 13.1. Для пуассоновского процесса {η(t), t > 0} интен-
сивности λ определить интенсивности переходов.
П р и м е р 13.2. Рассмотрим модель простейшей системы массово-
го обслуживания на примере работы канала связи: вызовы приходят
в случайные моменты времени, образующие простейший поток интен-
сивности λ; время обслуживания одного вызова (т.е. время разговора)
распределено по экспоненциальному закону с параметром µ; канал
связи обслуживает в каждый момент времени только один вызов; при
занятом канале поступающий вызов не принимается; поток вызовов
и поток обслуживания независимы.
Описать данную систему с помощью марковской функции ξ(t),
имеющей два состояния. Какова вероятность S(t) обслуживания вызо-
ва, поступившего в момент t, если в начальный момент времени канал
был свободен? Чему равна эта вероятность при больших t? Зависит
ли она начального состояния канала?
П р и м е р 13.3. Теперь изучим модель системы массового обслу-
живания, содержащей два параллельно работающих канала и очередь
на три места. Предположим, что на вход такой системы поступает
простейший поток заявок (запросов); среднее время ожидания одной
заявки составляет две минуты; каналы (приборы) обслуживания ра-
ботают независимо; время обслуживания на каждом их них распре-
делено э кспоненциально и имеет математическое ожидание, равное
пяти минутам. Рассмотрим процесс ξ(t), равный в момент времени
t > 0 числу заявок, находящихся в системе.
Считая, что ξ(t) — марковский процесс, найти интенсивности пере-
ходов, стационарное распределение вероятностей состояний, а также
предельную вероятность того, что очередь будет занята полностью.
П р и м е р 13.4. Предположим, что число особей в некоторой био-
логической популяции описывается однородной марковской функцией
ДИСКРЕТНЫЕ МАРКОВСКИЕ ФУНКЦИИ 49
ν(t). Известно, что максимально возможное число особей N достаточ-
но велико, а интенсивности рождения и гибели пропорциональны те-
кущей численности популяции, точнее b
x
= xλ, d
x
= xµ, x = 1, . . . , N.
Таким образом, параметры λ и µ представляют собой относительные
(т. е. из расчета на одну особь) интенсивности рождения и гибели.
При этом b
1
= λ есть интенсивность притока новых особей извне.
При каком соотношении между параметрами λ и µ данная по-
пуляция: а) имеет тенденцию к развитию; б) склонна к деградац ии;
в) имеет максимально неопределенное будущее?
Задачи для самостоятельного решения
1. В условиях примера 13.2 найти вероятность перехода p
0,1
(h) для
произвольных λ > 0, µ > 0 и показать, что p
0,1
(h) = λh + o(h).
О т в е т. p
0,1
(h) =
λ
µ − λ
e
−λh
− e
−µh
при λ 6= µ, p
0,1
(h) = λhe
−λh
при λ = µ.
2. Система массового обслуживания содержит один канал обслу-
живания и очередь на N мест. Поток заявок и поток обслуживания
являются простейшими и имеют одинаковую интенсивность. В стаци-
онарном режиме определить: а) распределение числа заявок, обслу-
живаемых системой; б) среднюю длину очереди.
О т в е т. а) равномерное; б)
(N − 1)N
(N + 1)2
.
3. Пусть система, рассмотренная в предыдущей задаче, содержит
два одинаковых параллельных канала обслуживания: а) во сколько
раз с ократиться средняя длина очереди; б) какова вероятность того,
что очередь не будет занята вовсе? Вычисления провести в предполо-
жении, что система находится в стационарном режиме, а N велико.
О т в е т. а) ≈ 3N/2; б) ≈ 2/3.
4. Система содержит s параллельно работающих пр иборов с вре-
менем обслуживания, распределенным по закону E(µ). Считая, что
входной поток заявок — простейший интенсивности λ, определить ста-
ционарные вероятности состояний. При каком количестве приборов s
вероятность потери заявки можно сделать меньше 0,001, если µ = λ?
О т в е т.
π
x
= (ρ
x
/x!)(1 + ρ + . . . + ρ
s
/s!)
−1
(формула Эрланга), где
4 А. Р. Панков и К. В. Семенихин
ДИСКРЕТНЫЕ МАРКОВСКИЕ ФУНКЦИИ 49
З А Н Я Т И Е 13
ν(t). Известно, что максимально возможное число особей N достаточ-
но велико, а интенсивности рождения и гибели пропорциональны те-
ДИСКРЕТНЫЕ МАРКОВСКИЕ ФУНКЦИИ кущей численности популяции, точнее bx = x λ, dx = x µ, x = 1, . . . , N .
Таким образом, параметры λ и µ представляют собой относительные
(т. е. из расчета на одну особь) интенсивности рождения и гибели.
При этом b1 = λ есть интенсивность притока новых особей извне.
При каком соотношении между параметрами λ и µ данная по-
пуляция: а) имеет тенденцию к развитию; б) склонна к деградации;
в) имеет максимально неопределенное будущее?
П р и м е р 13.1. Для пуассоновского процесса {η(t), t > 0} интен-
сивности λ определить интенсивности переходов.
П р и м е р 13.2. Рассмотрим модель простейшей системы массово- Задачи для самостоятельного решения
го обслуживания на примере работы канала связи: вызовы приходят
в случайные моменты времени, образующие простейший поток интен-
сивности λ; время обслуживания одного вызова (т.е. время разговора) 1. В условиях примера 13.2 найти вероятность перехода p 0,1(h) для
распределено по экспоненциальному закону с параметром µ; канал
произвольных λ > 0, µ > 0 и показать, что p 0,1(h) = λ h + o(h).
связи обслуживает в каждый момент времени только один вызов; при
λ
занятом канале поступающий вызов не принимается; поток вызовов О т в е т. p 0,1(h) = e−λh − e−µh при λ 6= µ, p 0,1(h) = λ h e−λh
и поток обслуживания независимы. µ−λ
при λ = µ.
Описать данную систему с помощью марковской функции ξ(t), 2. Система массового обслуживания содержит один канал обслу-
имеющей два состояния. Какова вероятность S(t) обслуживания вызо- живания и очередь на N мест. Поток заявок и поток обслуживания
ва, поступившего в момент t, если в начальный момент времени канал являются простейшими и имеют одинаковую интенсивность. В стаци-
был свободен? Чему равна эта вероятность при больших t? Зависит онарном режиме определить: а) распределение числа заявок, обслу-
ли она начального состояния канала? живаемых системой; б) среднюю длину очереди.
П р и м е р 13.3. Теперь изучим модель системы массового обслу- (N − 1)N
О т в е т. а) равномерное; б) .
живания, содержащей два параллельно работающих канала и очередь (N + 1)2
на три места. Предположим, что на вход такой системы поступает 3. Пусть система, рассмотренная в предыдущей задаче, содержит
простейший поток заявок (запросов); среднее время ожидания одной два одинаковых параллельных канала обслуживания: а) во сколько
заявки составляет две минуты; каналы (приборы) обслуживания ра- раз сократиться средняя длина очереди; б) какова вероятность того,
ботают независимо; время обслуживания на каждом их них распре- что очередь не будет занята вовсе? Вычисления провести в предполо-
делено экспоненциально и имеет математическое ожидание, равное жении, что система находится в стационарном режиме, а N велико.
пяти минутам. Рассмотрим процесс ξ(t), равный в момент времени О т в е т. а) ≈ 3N/2; б) ≈ 2/3.
t > 0 числу заявок, находящихся в системе. 4. Система содержит s параллельно работающих приборов с вре-
Считая, что ξ(t) — марковский процесс, найти интенсивности пере- менем обслуживания, распределенным по закону E(µ). Считая, что
ходов, стационарное распределение вероятностей состояний, а также входной поток заявок — простейший интенсивности λ, определить ста-
предельную вероятность того, что очередь будет занята полностью. ционарные вероятности состояний. При каком количестве приборов s
П р и м е р 13.4. Предположим, что число особей в некоторой био- вероятность потери заявки можно сделать меньше 0,001, если µ = λ?
логической популяции описывается однородной марковской функцией О т в е т. π x = (ρx/x!)(1 + ρ + . . . + ρs/s!)−1 (формула Эрланга), где
4 А. Р. Панков и К. В. Семенихин
