Практикум по теории случайных процессов (сокращенный вариант). Панков А.Р - 26 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МАИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

50 ДИСКРЕТНЫЕ МАРКОВСКИЕ ФУНКЦИИ [З. 13
x = 0, 1, . . . , s, ρ := λ/µ; π
s
< 0,001 при s = 6.
5. Поток отказов прибора — простейший с интенсивностью λ. Если
прибор отказал, то отказ обнаруживается в течение случайного време-
ни, имеющего распределение E(ν). Ремонт осуществляется после об-
наружения отказа и продолжается случайное время с распреде л ением
E(µ). Найти стационарную вероятность того, что прибор исправен.
О т в е т. 1/(1 + λ/µ + λ/ν).
6. Система содержит два канала с временем обслуживания, рас-
пределенным по закону E(µ). При этом каналы обслуживают заяв-
ки последовательно, входной поток заявок — простейший интенсивно-
сти λ. В стационарном режиме вычислить вероятность: а) «простоя»;
б) полного обслуживания.
У к а з а н и е. В п.б) использовать формулу полной вероятности от-
носительно группы гипотез: H
x
= {система находится в состоянии x}.
О т в е т. а) 1
(1 + ρ)
2
; б) (1 + ρ/2)/(1 + ρ)
2
, где ρ := λ/µ.
7. В условиях примера 13.4 найти вероятность выживания десятой
части популяции от ее максимальной численности N = 100, если ин-
тенсивность рождения на два процента меньше интенсивности гибели.
О т в е т. ≈0,7897.
8. В некоторой популяции интенсивность гибели d
x
= xµ пропор-
циональна численности x, а интенсивность рождения пропорциональ-
на числу «свободных» мест: b
x
= (N + 1 − x)λ, N — максимальная
численность. В стационарном режиме найти: а) распределение числа
особей; б) вероятность гибели всей популяции; в) интервал, в котором
с вероятностью 0,997 находится численность, если N = 10
6
и λ = µ.
О т в е т. а) Bi(N, (1 + µ/λ)
−1
); б) (1 + λ/µ)
−N
; в) (498500, 501500).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Боровков А. А. Теория вероятностей. — М.: Эдиториал УРСС, 1999.
2. Булинский А. В., Ширяев А. Н. Теория случайных процессов. —
М.: Физматлит, 2003.
3. Вентцель А. Д. Курс теории случайных процессов. — М.: Наука,
1996.
4. Вентцель Е. С., Овчаров Л. А. Теория случайных процессов и ее
инженерные приложения. — М.: Высшая школа, 2001.
5. Гихман И. И., Скороход А. В. Введение в теорию случайных про-
цессов. — М.: Наука, 1977.
6. Гнеденко Б. В., Коваленко И. Н. Введение в теорию массового
обслуживания. — М.: Наука, 1987.
7. Ивченко Г. И., Медведев Ю. И. Математическая статистика. —
М.: Высшая школа, 1984.
8. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функ-
ционального анализа. — М.: Физматлит, 2003.
9. Королюк В. С. и др. Справочник по теории вероятностей и матема-
тической статистике. — М.: Наука, 1985.
10. Миллер Б. М., Панков А. Р. Теория случайных процессов в приме-
рах и задачах. — М.: Физматлит, 2002.
11. Оксендаль Б. Стохастические дифференциальные уравнения. —
М.: Мир, 2003.
12. Пугачев В. С. Лекции по функциональному анализу. — М.: Изд-во
МАИ, 1996.
13. Пугачев В. С. Теория вероятностей и математическая статистика. —
М.: Физматлит, 2002.
14. Пугачев В. С., Синицын И. Н. Стохастические дифференциальные
системы. — М.: Наука, 1990.
15. Розанов Ю. А. Стационарные случайные процессы. — М.: Наука,
1990.
16. Ширяев А. Н. Вероятность. — М.: Наука, 1989.
17. Ширяев А. Н. Основы стохастической финансовой математики.
Т. 1. — М.: Фазис, 1998.
18. Ширяев А. Н. Задачи по теории вероятностей. — М.: МЦНМО, 2006.
50                 ДИСКРЕТНЫЕ МАРКОВСКИЕ ФУНКЦИИ                      [З. 13

x = 0, 1, . . . , s, ρ := λ/µ; π s < 0,001 при s = 6.
    5. Поток отказов прибора — простейший с интенсивностью λ. Если
прибор отказал, то отказ обнаруживается в течение случайного време-
ни, имеющего распределение E(ν). Ремонт осуществляется после об-                                СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
наружения отказа и продолжается случайное время с распределением
E(µ). Найти стационарную вероятность того, что прибор исправен.
    О т в е т. 1/(1 + λ/µ + λ/ν).                                                    1. Боровков А. А. Теория вероятностей. — М.: Эдиториал УРСС, 1999.
                                                                                     2. Булинский А. В., Ширяев А. Н. Теория случайных процессов. —
    6. Система содержит два канала с временем обслуживания, рас-               М.: Физматлит, 2003.
пределенным по закону E(µ). При этом каналы обслуживают заяв-                        3. Вентцель А. Д. Курс теории случайных процессов. — М.: Наука,
ки последовательно, входной поток заявок — простейший интенсивно-              1996.
сти λ. В стационарном режиме вычислить вероятность: а) «простоя»;                    4. Вентцель Е. С., Овчаров Л. А. Теория случайных процессов и ее
б) полного обслуживания.                                                       инженерные приложения. — М.: Высшая школа, 2001.
    У к а з а н и е. В п.б) использовать формулу полной вероятности от-              5. Гихман И. И., Скороход А. В. Введение в теорию случайных про-
носительно группы                                                              цессов. — М.: Наука, 1977.
                       гипотез: Hx = {система находится в состоянии x}.             6. Гнеденко Б. В., Коваленко И. Н. Введение в теорию массового
    О т в е т. а) 1 (1 + ρ)2 ; б) (1 + ρ/2)/(1 + ρ)2 , где ρ := λ/µ.
                                                                               обслуживания. — М.: Наука, 1987.
    7. В условиях примера 13.4 найти вероятность выживания десятой                   7. Ивченко Г. И., Медведев Ю. И. Математическая статистика. —
части популяции от ее максимальной численности N = 100, если ин-               М.: Высшая школа, 1984.
тенсивность рождения на два процента меньше интенсивности гибели.                    8. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функ-
    О т в е т. ≈ 0,7897.                                                       ционального анализа. — М.: Физматлит, 2003.
    8. В некоторой популяции интенсивность гибели dx = x µ пропор-                   9. Королюк В. С. и др. Справочник по теории вероятностей и матема-
циональна численности x, а интенсивность рождения пропорциональ-               тической статистике. — М.: Наука, 1985.
                                                                                   10. Миллер Б. М., Панков А. Р. Теория случайных процессов в приме-
на числу «свободных» мест: bx = (N + 1 − x)λ, N — максимальная                 рах и задачах. — М.: Физматлит, 2002.
численность. В стационарном режиме найти: а) распределение числа                   11. Оксендаль Б. Стохастические дифференциальные уравнения. —
особей; б) вероятность гибели всей популяции; в) интервал, в котором           М.: Мир, 2003.
с вероятностью 0,997 находится численность, если N = 106 и λ = µ.                  12. Пугачев В. С. Лекции по функциональному анализу. — М.: Изд-во
    О т в е т. а) Bi(N, (1 + µ/λ)−1 ); б) (1 + λ/µ)−N ; в) (498500, 501500).   МАИ, 1996.
                                                                                   13. Пугачев В. С. Теория вероятностей и математическая статистика. —
                                                                               М.: Физматлит, 2002.
                                                                                   14. Пугачев В. С., Синицын И. Н. Стохастические дифференциальные
                                                                               системы. — М.: Наука, 1990.
                                                                                   15. Розанов Ю. А. Стационарные случайные процессы. — М.: Наука,
                                                                               1990.
                                                                                   16. Ширяев А. Н. Вероятность. — М.: Наука, 1989.
                                                                                   17. Ширяев А. Н. Основы стохастической финансовой математики.
                                                                               Т. 1. — М.: Фазис, 1998.
                                                                                   18. Ширяев А. Н. Задачи по теории вероятностей. — М.: МЦНМО, 2006.

Страницы