Практикум по теории случайных процессов (сокращенный вариант). Панков А.Р - 22 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МАИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

42 МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ [З. 11
Задачи для самостоятельного решения
1. В примере 11.1 найти: а) распределение π(10) := (π
1
(10), . . .
. . . , π
6
(10)), где π
x
(n) := P{ξ(n) = x}, если π
x
(9) = 1/6; б) π(10), если
π
5
(11) = π
6
(11) = 1/2; в) переходную вероятность за два шага p
1,6
(2).
О т в е т. а) π(10) = (1/36, 1/12, 5/36, 7/36, 1/4, 11/36); б) π(10) =
= (0, 0, 0, 0, 3/5, 2/5); в) p
1,6
(2) = 11/36.
2. Пусть {V
n
}— независимые величины с функцией распределения
F (x). Доказать, что процесс {X(n)}, удовлетворяющий уравнению
авторегрессии первого порядка: X(n) = αX(n − 1) + V
n
, n > 1, где
α, X
0
= const, является однородным марковским. Найти функцию
распределения переходной вероятности за один шаг: P(x, 1, (−∞, y]).
О т в е т. F (−αx + y).
3. Пусть ξ(n) := V
1
+ . . . + V
n
, n > 1, где {V
n
}— независимые слу-
чайные величины, принимающие значения {1, −1} с вероятностями p
и q соответственно. Найти переходные вероятности p
x,y
(m).
О т в е т. p
x,y
(m) = P{ν = (y −x+m)/2}, где ν ∼Bi(m, p), x, y ∈Z.
4. Доказать, что последовательность η(n) := max{ξ(n), 0} немар-
ковская, если {ξ(n)} определена в предыдущей задаче при p = q = 1/2.
У к а з а н и е. P{η(3) = 0 | η(2) = η(1) = 0} 6= P{η(3) = 0 | η(2) = 0}.
5. Найти переходную плотность скалярного процесса X(t), удовле-
творяющего уравнению dX(t) = AX(t)dt + B dw(t), где A, B = const,
причем A, B 6= 0, а {w(t), t > 0} — стандартный винеровский процесс.
У к а з а н и е. p(x, t, y) = p
X
(y; t), если X(0) = x.
О т в е т. p(x, t, y) =
1
p
2π D(t)
exp
n
−
(y − m
x
(t))
2
2D (t)
o
, где m
x
(t) := xe
At
,
D(t) :=
B
2
|1 − e
2At
|
2|A|
.
6. Используя уравнения Колмогорова, найти фундаментальное ре-
шение уравнения теплопроводности, т. е. функцию U(x, t), такую что
∂U(x, t)
∂t
=
1
2
∆U(x, t) при t > 0 и U(x, 0) = δ(x), где x ∈ R
m
.
У к а з а н и е. U(x, t) = p
w
(x; t), где w(t) — стандартный m-мерный
винеровский процесс.
О т в е т. U(x, t) = (2π t)
−m/2
e
−|x|
2
/
2t
, где |x|
2
:= x
2
1
+ . . . + x
2
m
.
7. Найти плотность одномерного распределения процесса {ξ(t),
t > 0}, ξ(0) = 1, если его переходная плотность удовлетворяет урав-
МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ 43
нению 2
∂p(x, t, y)
∂t
= −
∂
∂y
y p(x, t, y)
+
∂
2
∂y
2
y
2
p(x, t, y)
, где x, t, y > 0.
У к а з а н и е. Использовать результат задачи 3 из занятия 7.
О т в е т. p
ξ
(y; t) = (2π ty
2
)
−1/2
e
−(ln y)
2
/
2t
.
8. Процессом Коши называют процесс с независимыми прираще-
ниями {ξ(t), t > 0}, такой что ξ(0) = 0 и ξ(t) − ξ(s) ∼ C(t − s) для лю-
бых t > s > 0. Доказать, что процесс Коши — однородная марковская
случайная функция, и найти ее переходную плотность.
О т в е т. p(x, t, y) =
t
π(t
2
+ (y − x)
2
)
.
9. Проверить, что броуновский мост {B(t), t ∈ [0, 1]}— неоднород-
ный марковский процесс. Какова его переходная вероятность?
У к а з а н и е. Использовать следующее необходимое и достаточ-
ное условие марковости гауссовского процесса: R
ξ
(t
1
, t
3
)R
ξ
(t
2
, t
2
) =
= R
ξ
(t
1
, t
2
)R
ξ
(t
2
, t
3
) для любых моментов t
1
, t
2
, t
3
, таких что t
1
6
6 t
2
6 t
3
.
О т в е т. P(s, x, t, ·) = N
1 − t
1 − s
x,
(1 − t)(t − s)
1 − s
при 0 < s < t < 1.
42                          МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ                                 [З. 11                              МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ                              43

          Задачи для самостоятельного решения                                                       ∂p(x, t, y)    ∂               ∂2               
                                                                                          нению 2               =−    y p(x, t, y) + 2 y 2 p(x, t, y) , где x, t, y > 0.
                                                                                                       ∂t          ∂y               ∂y
                                                                                             У к а з а н и е. Использовать результат задачи 3 из занятия 7.
                                                                                             О т в е т. pξ (y; t) = (2π t y 2 )−1/2 e−(ln y) /2t .
                                                                                                                                            2


       1. В примере 11.1 найти: а) распределение π(10) := (π1 (10), . . .                    8. Процессом Коши называют процесс с независимыми прираще-
. . . , π6 (10)), где πx (n) := P{ξ(n) = x}, если πx (9) = 1/6; б) π(10), если            ниями {ξ(t), t > 0}, такой что ξ(0) = 0 и ξ(t) − ξ(s) ∼ C(t − s) для лю-
π5 (11) = π6 (11) = 1/2; в) переходную вероятность за два шага p1,6 (2).                  бых t > s > 0. Доказать, что процесс Коши — однородная марковская
       О т в е т. а) π(10) = (1/36, 1/12, 5/36, 7/36, 1/4, 11/36); б) π(10) =             случайная функция, и найти ее переходную плотность.
= (0, 0, 0, 0, 3/5, 2/5); в) p1,6 (2) = 11/36.                                                                                 t
                                                                                             О т в е т. p(x, t, y) =                    .
       2. Пусть {Vn } — независимые величины с функцией распределения                                               π(t + (y − x) )
                                                                                                                         2            2

F (x). Доказать, что процесс {X(n)}, удовлетворяющий уравнению                               9. Проверить, что броуновский мост {B(t), t ∈ [0, 1]} — неоднород-
авторегрессии первого порядка: X(n) = αX(n − 1) + Vn , n > 1, где                         ный марковский процесс. Какова его переходная вероятность?
α, X0 = const, является однородным марковским. Найти функцию                                 У к а з а н и е. Использовать следующее необходимое и достаточ-
распределения переходной вероятности за один шаг: P(x, 1, (−∞, y]).                       ное условие марковости гауссовского процесса: Rξ (t1 , t3 )Rξ (t2 , t2 ) =
       О т в е т. F (−α x + y).                                                           = Rξ (t1 , t2 )Rξ (t2 , t3 ) для любых моментов t1 , t2 , t3 , таких что t1 6
       3. Пусть ξ(n) := V1 + . . . + Vn , n > 1, где {Vn } — независимые слу-             6 t2 6 t3 .                                             
чайные величины, принимающие значения {1, −1} с вероятностями p                              О т в е т. P(s, x, t, ·) = N
                                                                                                                             1−t
                                                                                                                                 x,
                                                                                                                                    (1 − t)(t − s)
                                                                                                                                                     при 0 < s < t < 1.
и q соответственно. Найти переходные вероятности px,y (m).                                                                1−s         1−s
       О т в е т. px,y (m) = P{ν = (y − x + m)/2}, где ν ∼ Bi(m, p), x, y ∈ Z.
       4. Доказать, что последовательность η(n) := max{ξ(n), 0} немар-
ковская, если {ξ(n)} определена в предыдущей задаче при p = q = 1/2.
       У к а з а н и е. P{η(3) = 0 | η(2) = η(1) = 0} = 6 P{η(3) = 0 | η(2) = 0}.
       5. Найти переходную плотность скалярного процесса X(t), удовле-
творяющего уравнению dX(t) = A X(t)dt + B dw(t), где A, B = const,
причем A, B 6= 0, а {w(t), t > 0} — стандартный винеровский процесс.
       У к а з а н и е. p(x, t, y) = pX (y; t), если X(0) = x.
                                              n                o
                                    1             (y − mx (t))2
       О т в е т. p(x, t, y) = p         exp −                  , где mx (t) := x eAt ,
                              2π D(t)              2D(t)
        B 2 |1 − e2At |
D(t) :=                 .
             2|A|
  6. Используя уравнения Колмогорова, найти фундаментальное ре-
шение уравнения теплопроводности, т. е. функцию U (x, t), такую что
∂U (x, t)  1
          = ∆U (x, t) при t > 0 и U (x, 0) = δ(x), где x ∈ Rm .
  ∂t       2
   У к а з а н и е. U (x, t) = pw (x; t), где w(t) — стандартный m-мерный
винеровский процесс.
   О т в е т. U (x, t) = (2π t)−m/2 e−|x| /2t , где |x|2 := x21 + . . . + x2m .
                                           2



   7. Найти плотность одномерного распределения процесса {ξ(t),
t > 0}, ξ(0) = 1, если его переходная плотность удовлетворяет урав-

Страницы