Практикум по теории случайных процессов (сокращенный вариант). Панков А.Р - 21 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МАИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

40 ПОТОКИ СОБЫТИЙ. ПУАССОНОВСКИЙ ПРОЦЕСС [З. 10
О т в е т. Поток событий — неординарный без последействия.
10. Неоднородный пуассоновский поток {U
n
} определяется про-
цессом восстановления eη(t) = η(a(t)), где η(t) — стандартный пуассо-
новский процесс, a(t) — абсолютно непрерывная неубывающая функ-
ция, такая что a(0) = 0. При какой «замене времени» a(t) поток {U
n
}
будет иметь заданную интенсивность λ(t), в частности, λ(t) = sin
2
t?
О т в е т. a
′
(t) = λ(t); a(t) = t/2 − (sin 2t)/4 при λ(t) = sin
2
t.
11. Доказать, что сложно-пуассоновский процесс — процесс с неза-
висимыми приращениями (см. пример 10.5). Каковы его математиче-
ское ожидание и ковариационная функция?
О т в е т. m
X
(t) = µλt; R
X
(t, s) = ν
2
λ min(t, s).
12. Допустим, что в условиях примера 10.5 b — фиксированный
размер выплат, а q — вероятность страхового случая. Описать закон
распределения суммы выплат X(t), произведенных за время t.
У к а з а н и е. P{W
k
= b} = q, P{W
k
= 0} = 1 − q.
О т в е т. X(t) = b eη(t), где eη(t) ∼ Π(qλt).
13. Описать поток событий, получаемый из простейшего в резуль-
тате случайного удаления событий, если p — вероятность удаления,
а λ — интенсивность исходного потока.
У к а з а н и е. ζ(t) = W
1
+ . . . + W
η(t)
— соответствующий процесс
восстановления, где W
k
∼ Bi(1, 1 − p), η(t) — пуассоновский процесс.
О т в е т. Поток событий — простейший интенсивности (1 −p)λ.
З А Н Я Т И Е 11
МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ
П р и м е р 11.1. Рассмотрим последовательность бросаний симмет-
ричной игральной кости. Пус ть случайная величи на V
n
есть число
очков, выпавшее на грани при n-м бросании. Введем последователь-
ность случайных величин по правилу
ξ(n) := max(V
1
, . . . , V
n
), n = 1, 2, . . .
Показать, что последовательность ξ(n) — однородная марковская,
и определить для нее переходную вероятность.
П р и м е р 11.2. Рассмотрим процесс авторегрессии 2-го порядка
X(n) = α
1
X(n −1) + α
2
X(n −2) + V
n
, n > 2, X(0) = X(1) = 0,
где {V
n
}— стандартный гауссовский белый шум, α
1
, α
2
— постоянные
коэффици енты, причем α
2
6= 0.
Показать, что последовательность {X(n)}— немарковская, тем
не менее, существует двумерный од нородный марковский процесс
{Y (n)}, такой что X(n) ≡ Y
1
(n).
П р и м е р 11.3. Доказать, что винеровский процесс {w(t), t > 0} и
пуассоновский процесс {η(t), t > 0} являются однородными марков-
скими. Найти их переходные вероятности.
П р и м е р 11.4. Пользуясь обратным уравнением Колмогорова,
найти решение уравнения теплопроводности
∂g(x, t)
∂t
=
1
2
∆g(x, t), x ∈ R
m
, t > 0, (11.1)
при начальном условии g(x, 0) = I
K
(x), где I
K
(x) — индикаторная
функция m-мерного куба K := {x ∈ R
m
: |x
1
| 6 1, . . . , |x
m
| 6 1}, а ∆ —
оператор Лапласа, т. е.
∆g(x, t) :=
∂
2
g(x, t)
∂x
2
1
+ . . . +
∂
2
g(x, t)
∂x
2
m
.
40            ПОТОКИ СОБЫТИЙ. ПУАССОНОВСКИЙ ПРОЦЕСС              [З. 10
                                                                                                   З А Н Я Т И Е 11
   О т в е т. Поток событий — неординарный без последействия.
   10. Неоднородный пуассоновский поток {Un } определяется про-
цессом восстановления ηe(t) = η(a(t)), где η(t) — стандартный пуассо-                    МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ
новский процесс, a(t) — абсолютно непрерывная неубывающая функ-
ция, такая что a(0) = 0. При какой «замене времени» a(t) поток {Un }
будет иметь заданную интенсивность λ(t), в частности, λ(t) = sin2 t?
   О т в е т. a′ (t) = λ(t); a(t) = t/2 − (sin 2t)/4 при λ(t) = sin2 t.
   11. Доказать, что сложно-пуассоновский процесс — процесс с неза-
висимыми приращениями (см. пример 10.5). Каковы его математиче-
ское ожидание и ковариационная функция?                                      П р и м е р 11.1. Рассмотрим последовательность бросаний симмет-
   О т в е т. mX (t) = µ λ t; RX (t, s) = ν 2 λ min(t, s).                ричной игральной кости. Пусть случайная величина Vn есть число
   12. Допустим, что в условиях примера 10.5 b — фиксированный            очков, выпавшее на грани при n-м бросании. Введем последователь-
размер выплат, а q — вероятность страхового случая. Описать закон         ность случайных величин по правилу
распределения суммы выплат X(t), произведенных за время t.
   У к а з а н и е. P{Wk = b} = q, P{Wk = 0} = 1 − q.                                      ξ(n) := max(V1 , . . . , Vn ),    n = 1, 2, . . .
   О т в е т. X(t) = b ηe(t), где ηe(t) ∼ Π(qλ t).                           Показать, что последовательность ξ(n) — однородная марковская,
   13. Описать поток событий, получаемый из простейшего в резуль-         и определить для нее переходную вероятность.
тате случайного удаления событий, если p — вероятность удаления,             П р и м е р 11.2. Рассмотрим процесс авторегрессии 2-го порядка
а λ — интенсивность исходного потока.
   У к а з а н и е. ζ(t) = W1 + . . . + Wη(t) — соответствующий процесс    X(n) = α1 X(n − 1) + α2 X(n − 2) + Vn ,           n > 2,      X(0) = X(1) = 0,
восстановления, где Wk ∼ Bi(1, 1 − p), η(t) — пуассоновский процесс.      где {Vn } — стандартный гауссовский белый шум, α1 , α2 — постоянные
   О т в е т. Поток событий — простейший интенсивности (1 − p)λ.          коэффициенты, причем α2 6= 0.
                                                                              Показать, что последовательность {X(n)} — немарковская, тем
                                                                          не менее, существует двумерный однородный марковский процесс
                                                                          {Y (n)}, такой что X(n) ≡ Y1 (n).
                                                                              П р и м е р 11.3. Доказать, что винеровский процесс {w(t), t > 0} и
                                                                          пуассоновский процесс {η(t), t > 0} являются однородными марков-
                                                                          скими. Найти их переходные вероятности.
                                                                              П р и м е р 11.4. Пользуясь обратным уравнением Колмогорова,
                                                                          найти решение уравнения теплопроводности
                                                                                           ∂g(x, t)  1
                                                                                                    = ∆g(x, t),        x ∈ Rm ,      t > 0,          (11.1)
                                                                                             ∂t      2
                                                                          при начальном условии g(x, 0) = IK (x), где IK (x) — индикаторная
                                                                          функция m-мерного куба K := {x ∈ Rm : |x1 | 6 1, . . . , |xm | 6 1}, а ∆ —
                                                                          оператор Лапласа, т. е.
                                                                                                          ∂ 2 g(x, t)         ∂ 2 g(x, t)
                                                                                            ∆g(x, t) :=         2
                                                                                                                      + ... +             .
                                                                                                              ∂x1                ∂x2m

Страницы