Практикум по теории случайных процессов (сокращенный вариант). Панков А.Р - 20 стр.

38            ПОТОКИ СОБЫТИЙ. ПУАССОНОВСКИЙ ПРОЦЕСС               [З. 10                   ПОТОКИ СОБЫТИЙ. ПУАССОНОВСКИЙ ПРОЦЕСС                  39

   П р и м е р 10.4. Описать поток {Tn }, составленный из двух неза-           4. Даны два случайных события Ai := {в простейшем потоке ин-
                                 (j)
висимых простейших потоков {Tn }, j = 1, 2. Что будет представлять         тенсивности λ на промежутке ∆i произошло не менее N событий},
собой процесс восстановления η(t), соответствующий потоку {Tn }?           i = 1, 2. При каких условиях события A1 и A2 : а) равновероятны;
                                                                           б) независимы; в) A1 менее вероятно, чем A2 ; г) A1 влечет A2 ?
   П р и м е р 10.5 (Сложно-пуассоновский процесс). Сумма выплат,              О т в е т. а) промежутки имеют одинаковую длину; б) ∆1 ∩∆2 = ∅;
производимых страховой компанией по одинаковым договорам, опи-             в) ∆1 — меньшей длины, чем ∆2 ; г) ∆1 ⊆ ∆2 .
сывается сложно-пуассоновским процессом X(t) := W1 + . . . + Wη(t) ,
                                                                               5. Пусть T+ — время от текущего момента t до момента появления
t > 0, где {Wk } — случайные величины, имеющие одну и ту же харак-         следующего события в простейшем потоке {Tn } интенсивности λ, а
теристическую функцию ψ(θ) и определяющие размер выплат в k-м              T− — время, прошедшее с момента последнего события вплоть до t.
страховом случае; η(t) — пуассоновский процесс (интенсивности λ),          Доказать, что величины T+ , T− независимы, и найти их распределе-
равный числу страховых случаев, произошедших за время t; размеры           ние (ср. с п. б) примера 10.1).
выплат и число страховых случаев независимы в совокупности.                    У к а з а н и е. Положить T+ = Tη(t)+1 − t и T− = t − Tη(t) ; рассмот-
   Найти математического ожидание, дисперсию и характеристиче-
                                                                           реть вероятности P{T+ > u, T− > s, η(t) = n} при u > 0, s ∈ [0, t],
скую функцию суммы выплат Y , произведенных на промежутке (s, t].
                                                                           n = 0, 1, . . . ; использовать соотношение {Tn 6 t} = {η(t) > n}.
                                                                               О т в е т. T+ ∼ E(λ); P{T− 6 s} = 1 − e−λs при 0 6 s 6 t и P{T− =
                                                                           = t} = e−λt (усеченное показательное распределение на [0, t]).
                                                                               6. Зависит ли распределение величины: а) T+ ; б) T− от числа
        Задачи для самостоятельного решения                                событий в потоке, произошедших до текущего момента (см. задачу 5)?
                                                                               У к а з а н и е. Определить условные распределения величин T+ , T−
                                                                           относительно события {η(t) = n}.
   1. На телефонную станцию поступает простейший поток вызовов.                О т в е т. а) нет; б) P{T− 6 s | η(t) = n} = 1 − (1 − s/t)n при s ∈
В среднем в одну минуту поступают три вызова. Какова вероятность           ∈ [0, t] и n > 1, P{T− = 0 | η(t) = 0} = 1.
того, что: а) в течение двух минут на станцию не поступит ни одного            7. Считая, что телеграфный сигнал (см. пример 10.3) определен
вызова; б) за минуту поступят по крайней мере два вызова?                  на всей числовой прямой, найти его спектральную плотность.
   О т в е т. а) ≈ 0,002479; б) ≈ 0,8009.                                                               2λ0
   2. Сколько в условиях задачи 1 занимает в среднем ожидание:                О т в е т. sξ (λ) =                 .
                                                                                                    π(4λ20 + λ2 )
а) первого вызова; б) девятого вызова; в) девятого вызова по исте-            8. Построить процесс восстановления ζ(t), соответствующий «про-
чении семнадцати секунд после того, как поступил восьмой вызов?            реженному» потоку {T2n }, где {Tn } — простейший поток, отвечающий
   У к а з а н и е. а) MT1 ; б) MT9 ; в) M{T9 − (T8 + δ) | T9 > T8 + δ},   пуассоновскому процессу η(t) интенсивности λ. Каково распределение
где {Tn } — простейший поток интенсивности 1/3 мин−1 и δ := 17 с.          времени между моментами наступления событий в «прореженном»
   О т в е т. а) 20 с; б) 3 мин; в) 20 с.                                  потоке? Какова его интенсивность µ? Является ли {T2n } однородным,
   3. В условиях задачи 1 определить: а) интервал (M − ∆M, M +             ординарным, потоком без последействия?
+ ∆M ), в котором с вероятностью 0,95 находится число вызовов, по-            О т в е т. ζ(t) = [η(t)/2], где [. . .] — целая часть числа; величины
ступивших на станцию за три часа (где M — среднее число указанных          T2(n+1) − T2n распределены по закону Эрланга второго порядка;
вызовов, ∆M > 0); б) вероятность того, что за сутки станция примет         µ = λ/2; {T2n } — однородный ординарный поток с последействием.
не более 4500 вызовов.                                                        9. Пусть ν(t) = η1 + . . . + η[t] , где {ηn } — независимые случайные
   У к а з а н и е. Использовать нормальную аппроксимацию пуассо-
новского распределения.                                                    величины, распределенные по закону Π(ρ). Будет ли поток событий,
   О т в е т. а) (494, 586); б) 0,9968.                                    отвечающий ν(t): а) ординарен, б) обладать последействием?