ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
34 ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СТАЦИОНАРНЫХ ПРОЦЕССОВ [З. 9
П р и м е р 9.4. Пусть {Y (t), t ∈ R} — наблюдения «полезного сиг-
нала» f(t) со сл учайной «помехой» ξ(t):
Y (t) = f (t) + ξ(t),
где f (t) — неслучайная дифференцируемая функция, а ξ(t) — широко-
полосный белый шум, т. е. центрированная стационарная случайная
функция с дисперсией D
ξ
и постоянной на [−λ
0
, λ
0
] спектральной
плотностью
s
ξ
(λ) =
D
ξ
/(2λ
0
), |λ| 6 λ
0
,
0, |λ| > λ
0
.
Наблюдаемый процесс Y (t) подвергается численному дифференциро-
ванию с шагом h > 0:
X
h
(t) =
Y (t + h) − Y (t)
h
. (9.4)
Вычислить математическое ожидание и дисперсию «численной
производ ной» (9.4). Исследовать их поведение при h → 0.
П р и м е р 9.5. Пусть {ξ(n), n ∈ Z}— почти периодическая после-
довательность, т. е. ξ(n) = V
1
e
inλ
1
+ V
2
e
inλ
2
+ . . . + V
N
e
inλ
N
, где
{V
k
}— некоррелированные величины с нулевым средним и диспер-
сиями A
k
> 0, {λ
k
}— различные точки спектральной области (−π, π]
(ср. с примером 8.2). Рассмотрим преобразование
e
ξ
a
(n) :=
N
X
k=1
a
k
ξ(n − k), n ∈ Z, (9.5)
которое осуществляет прогноз сечения ξ(n) по предыдущим N изме-
рениям {ξ(n − 1), ξ(n − 2), . . . , ξ(n − N)}.
При каком наборе коэффициентов a = {a
1
, . . . , a
N
} прогноз (9.5)
будет оптимальным, т. е. будет достигаться минимум среднеквадра-
тичной погрешности
D(a) := M
|
e
ξ
a
(n) − ξ(n)|
2
? (9.6)
Чему равна с.к.-погрешность оптимального прогноза?
ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СТАЦИОНАРНЫХ ПРОЦЕССОВ 35
Задачи для самостоятельного решения
1. Найти спектральную плотность случайной последовательности
η(n) = a
0
ξ(n) + a
1
ξ(n − 1), n ∈ Z, если ξ — стационарный белый шум.
О т в е т. s
η
(λ) = D
ξ
(a
2
0
+ a
2
1
+ 2a
0
a
1
cos λ)/(2π).
2. Обозначим H(Y ) пространство, полученное замыканием относи-
тельно с.к.-сходимости множества всех линейных комбинаций сечений
гильбертовой последовательности Y . Случайная величина
ˆ
θ называ-
ется наилучшим линейным прогнозом величины θ по наблюдениям Y ,
если M
|
ˆ
θ − θ|
2
6 M
|ν −θ|
2
для любой ν ∈ H(Y ).
В усл овиях прим ера 9.1, считая ξ стандартным белым шумом,
определить наилучший линейный прогноз ˆη(n), n > 1, по наблюде-
ниям {η(m), m 6 0}. Найти σ
2
:= lim
n→+∞
M
|ˆη(n) − η(n)|
2
.
У к а з а н и е. ˆη(n) — ортогональная проекция в L
2
(Ω) элемента
η(n) = a
n
η(0)+a
n−1
bξ(1)+. . .+abξ(n−1)+bξ(n) на подпространство
H({η(m), m 6 0}), которое совпадает с H ({ξ(m), m 6 0}).
О т в е т. ˆη(n) = a
n
η(0), σ
2
= D
η
= b
2
/(1 − a
2
).
3. Найти явные выражения для решений разностных уравнений:
а) η(n) = η(n−1) −
η(n−2)
4
+ξ(n); б) η(n) =
2η(n−1)
3
−
η(n−2)
12
+ξ(n).
У к а з а н и е. Определить весовую функцию из разложения частот-
ной характеристики H(λ) в ряд Тейлора по степеням z = e
−iλ
.
О т в е т. а) η(n) =
∞
X
k=0
(k +1)
2
k
ξ(n −k); б) η(n) = 3
∞
X
k=0
1
2
k+1
−
1
6
k+1
×
× ξ(n−k).
4. Является ли фильтром следующее линейное преобразование:
η(n) = (ξ(n + 1) + ξ(n − 1))/2, n ∈ Z? Найти спектральную плотность
s
η
(λ), если ξ — стандартный белый шум. Какое физически реализуе-
мое преобразование дает «на выходе» ту же спектральную плотность?
О т в е т. Нет; s
η
(λ) =
1
2π
cos
2
λ; η(n) = (ξ(n) + ξ(n − 2))/2.
5. Определить спектральную плотность и ортогональную стоха-
стическую меру процесса Y (t), являющегося выходом: а) «усилитель-
ного звена» Y (t) = AX(t), где A — постоянная; б) «запаздывающего
звена» Y (t) = X(t−h) при h > 0. Указать соответствующие частотные
характеристики.
О т в е т. а) H(λ) = A, s
Y
(λ) = |A|
2
s
X
(λ), Z
Y
(dλ) = AZ
X
(dλ);
б) H(λ) = e
−ihλ
, s
Y
(λ) = s
X
(λ), Z
Y
(dλ) = e
−ihλ
Z
X
(dλ).
3*
34 ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СТАЦИОНАРНЫХ ПРОЦЕССОВ [З. 9 ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СТАЦИОНАРНЫХ ПРОЦЕССОВ 35
П р и м е р 9.4. Пусть {Y (t), t ∈ R} — наблюдения «полезного сиг- Задачи для самостоятельного решения
нала» f (t) со случайной «помехой» ξ(t):
Y (t) = f (t) + ξ(t), 1. Найти спектральную плотность случайной последовательности
η(n) = a0 ξ(n) + a1 ξ(n − 1), n ∈ Z, если ξ — стационарный белый шум.
где f (t) — неслучайная дифференцируемая функция, а ξ(t) — широко- О т в е т. sη (λ) = Dξ (a20 + a21 + 2a0 a1 cos λ)/(2π).
полосный белый шум, т. е. центрированная стационарная случайная 2. Обозначим H(Y ) пространство, полученное замыканием относи-
функция с дисперсией Dξ и постоянной на [−λ0 , λ0 ] спектральной тельно с.к.-сходимости множества всех линейных комбинаций сечений
плотностью гильбертовой последовательности Y . Случайная величина θ̂ называ-
Dξ /(2λ0 ), |λ| 6 λ0 , ется наилучшим линейным прогнозом величины θ по наблюдениям Y ,
sξ (λ) =
0, |λ| > λ0 . если M |θ̂ − θ| 6 M |ν − θ|2 для любой ν ∈ H(Y ).
2
В условиях примера 9.1, считая ξ стандартным белым шумом,
Наблюдаемый процесс Y (t) подвергается численному дифференциро- определить наилучший линейный прогноз η̂(n), n > 1, по наблюде-
ванию с шагом h > 0: ниям {η(m), m 6 0}. Найти σ 2 := lim M |η̂(n) − η(n)|2 .
n→+∞
Y (t + h) − Y (t) У к а з а н и е. η̂(n) — ортогональная проекция в L2 (Ω) элемента
Xh (t) = . (9.4) η(n) = an η(0) + an−1 b ξ(1) + . . . + a b ξ(n − 1) + b ξ(n) на подпространство
h
H({η(m), m 6 0}), которое совпадает с H({ξ(m), m 6 0}).
Вычислить математическое ожидание и дисперсию «численной О т в е т. η̂(n) = an η(0), σ 2 = Dη = b2 /(1 − a2 ).
производной» (9.4). Исследовать их поведение при h → 0. 3. Найти явные выражения для решений разностных уравнений:
η(n − 2) 2η(n − 1) η(n − 2)
П р и м е р 9.5. Пусть {ξ(n), n ∈ Z} — почти периодическая после- а) η(n) = η(n − 1) − + ξ(n); б) η(n) = − + ξ(n).
4 3 12
довательность, т. е. ξ(n) = V1 einλ1 + V2 einλ2 + . . . + V N einλN , где У к а з а н и е. Определить весовую функцию из разложения частот-
{Vk } — некоррелированные величины с нулевым средним и диспер- ной характеристики H(λ) в ряд Тейлора по степеням z = e−iλ .
сиями Ak > 0, {λk } — различные точки спектральной области (−π, π] ∞ ∞
(k + 1) 1 1
О т в е т. а) η(n) = ξ(n − k); б) η(n) = 3 − k+1 ×
X X
(ср. с примером 8.2). Рассмотрим преобразование 2 k 2k+1 6
× ξ(n − k). k=0 k=0
N 4. Является ли фильтром следующее линейное преобразование:
ξea (n) := ak ξ(n − k), n ∈ Z, (9.5)
X
η(n) = (ξ(n + 1) + ξ(n − 1))/2, n ∈ Z? Найти спектральную плотность
k=1 sη (λ), если ξ — стандартный белый шум. Какое физически реализуе-
мое преобразование дает «на выходе» ту же спектральную плотность?
которое осуществляет прогноз сечения ξ(n) по предыдущим N изме- 1
рениям {ξ(n − 1), ξ(n − 2), . . . , ξ(n − N )}. О т в е т. Нет; sη (λ) = cos2 λ; η(n) = (ξ(n) + ξ(n − 2))/2.
2π
При каком наборе коэффициентов a = {a1 , . . . , aN } прогноз (9.5) 5. Определить спектральную плотность и ортогональную стоха-
будет оптимальным, т. е. будет достигаться минимум среднеквадра- стическую меру процесса Y (t), являющегося выходом: а) «усилитель-
тичной погрешности ного звена» Y (t) = A X(t), где A — постоянная; б) «запаздывающего
звена» Y (t) = X(t−h) при h > 0. Указать соответствующие частотные
D(a) := M |ξea (n) − ξ(n)|2 ? (9.6) характеристики.
О т в е т. а) H(λ) = A, sY (λ) = |A|2 sX (λ), ZY (dλ) = A ZX (dλ);
Чему равна с.к.-погрешность оптимального прогноза? б) H(λ) = e−ihλ , sY (λ) = sX (λ), ZY (dλ) = e−ihλ ZX (dλ).
3*
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 16
- 17
- 18
- 19
- 20
- …
- следующая ›
- последняя »
