ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
30 СТАЦИОНАРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ [З. 8
П р и м е р 8.4. Ковариационная функция стационарной случайной
функции {ξ(t), t ∈ R} имеет вид r
ξ
(t) = D e
−α|t|
, где D > 0, α > 0.
Показать, что ξ(t) имеет спектральную плотность, и вычислить ее.
П р и м е р 8.5. П усть w
1
(t) и w
2
(t) — независимые стандартные ви-
неровские процессы. Определим случайную функцию {W (t), t ∈ R}
по правилу:
W (t) :=
(
w
1
(t), t > 0,
w
2
(−t), t 6 0.
Доказать, что процесс ξ(t) := W (t + h) − W (t), t ∈ R, является ста-
ционарным (h — положительная константа). Найти его дисперсию и
ковариационную функцию.
Задачи для самостоятельного решения
1. Пусть U
k
, V
k
— действительные некоррелированные случайные
величины, такие что M U
k
= M V
k
= 0, D U
k
= D V
k
= σ
2
k
,
X
k
σ
2
k
< ∞.
Доказать, что процесс ξ(t) :=
∞
X
k=1
(U
k
cos λ
k
t + V
k
sin λ
k
t), t ∈ T , будет
стационарным ({λ
k
}— точки соответствующей спектральной обла-
сти). Найти ортогональную стохастическую меру Z
ξ
(dλ), спектраль-
ную меру S
ξ
(dλ) и ковариационную функцию r
ξ
(t).
У к а з а н и е. Получить представление ξ(t) =
∞
X
k=−∞
W
k
e
iλ
k
t
, где
λ
−k
:= −λ
k
, W
k
:= (U
k
− iV
k
)/2, W
−k
:=
W
k
при k > 1, W
0
:= 0, при-
чем {W
k
}— некоррелированные величины.
О т в е т. S
ξ
=
∞
X
k=1
σ
2
k
δ
λ
k
+ δ
−λ
k
2
, Z
ξ
=
∞
X
k=1
U
k
δ
λ
k
+ δ
−λ
k
2
+ V
k
δ
λ
k
−δ
−λ
k
2i
(δ
a
— мера Дирака, сосредоточенная в точке a), r
ξ
(t) =
∞
X
k=1
σ
2
k
cos λ
k
t.
2. Пусть θ, η — независимые случайные величины, такие что θ
равномерно распределена на (−π, π), а η имеет характеристическую
функцию ψ(z) и четную плотность вероятности f(x), равную нулю
СТАЦИОНАРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ 31
вне (−π, π). Показать, что последовательность ξ(n) := cos(nη + θ)
√
2
является стационарной. Найти m
ξ
, D
ξ
, r
ξ
(n) и s
ξ
(λ).
О т в е т. m
ξ
= 0, D
ξ
= 1, r
ξ
(n) = ψ(n), s
ξ
(λ) = f(λ).
3. Пусть ρ(n) =
sin an
πn
при n 6= 0 и r
ξ
(0) = a/π, где 0 < a < π. Дока-
зать, что ρ(n) есть ковариационная функция некоторой стационарной
последовательности ξ. Найти ее спектральную плотность s
ξ
(λ).
О т в е т. s
ξ
(λ) равна 1/(2π) на отрезке [−a, a] и нулю вне его.
4. Найти дисперс ию и ковариационную функцию случайной по-
следовательности, имеющей спектральную п лотность s
ξ
(λ) = π − |λ|.
О т в е т. D
ξ
= r
ξ
(0) = π
2
, r
ξ
(n) = 2(−1)
n
n
2
при n 6= 0.
5. Доказать, что сумма ξ(t) := ξ
1
(t) + ξ
2
(t) двух некоррелирован-
ных между собой стационарных процессов {ξ
i
(t), t ∈ T } также явля-
ется стационарным процессом. Найти спектральную меру, спектраль-
ную плотность и ортогональную стохастическую меру процесса ξ(t).
О т в е т. S
ξ
= S
ξ
1
+ S
ξ
2
, s
ξ
= s
ξ
1
+ s
ξ
2
, Z
ξ
= Z
ξ
1
+ Z
ξ
2
.
6. Определить спектральную плотность процесса из приме ра 8.5.
О т в е т. s
ξ
(λ) = (1 − cos λh)
(πλ
2
).
7. Пусть U, X — независимые величины, такие что U ∼ N(0, 1),
а X имеет плотность вероятности f(x) := 1/(π(1 + x
2
)). Доказать, что
случайная функция ξ(t) := U (1 + iX)e
itX
/
√
2, t ∈ R, представляет со-
бой стандартный белый шум.
У к а з а н и е. Проверить для отображения J
ξ
(ϕ)(ω):=
∞
Z
−∞
ϕ(t)ξ
ω
(t)dt
следующие условия: а) J(ϕ) — случайная величина, линейно завися-
щая от ϕ; б) M{J(ϕ)} = 0; в) D{J(ϕ)} = ν
∞
Z
−∞
|ϕ(t)|
2
dt.
8. Доказать теорему Котельникова: если спектр стационарной
функции {ξ(t), t ∈ R} ограничен, т. е. s
ξ
(λ) = 0 вне конечного проме-
жутка [−a, a], то ξ(t) =
∞
X
k=−∞
sin(at − πk)
at − πk
ξ
πk
a
(P-п.н.), иначе говоря,
функция целиком определяется последовательностью своих сечений.
У к а з а н и е. Получить разложение e
itλ
в ряд Фурье на [−a, a] по
системе {e
iπk/a
, k ∈ Z}. Подставить его в интеграл ξ(t) =
a
Z
−a
e
itλ
Z
ξ
(dλ).
30 СТАЦИОНАРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ [З. 8 СТАЦИОНАРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ 31
√
П р и м е р 8.4. Ковариационная функция стационарной случайной вне (−π, π). Показать, что последовательность ξ(n) := cos(nη + θ) 2
функции {ξ(t), t ∈ R} имеет вид rξ (t) = D e−α|t| , где D > 0, α > 0. является стационарной. Найти mξ , Dξ , rξ (n) и sξ (λ).
Показать, что ξ(t) имеет спектральную плотность, и вычислить ее. О т в е т. mξ = 0, Dξ = 1, rξ (n) = ψ(n), sξ (λ) = f (λ).
П р и м е р 8.5. Пусть w1 (t) и w2 (t) — независимые стандартные ви- sin an
3. Пусть ρ(n) = при n 6= 0 и rξ (0) = a/π, где 0 < a < π. Дока-
неровские процессы. Определим случайную функцию {W (t), t ∈ R} πn
по правилу: зать, что ρ(n) есть ковариационная функция некоторой стационарной
последовательности ξ. Найти ее спектральную плотность sξ (λ).
(
w1 (t), t > 0, О т в е т. sξ (λ) равна 1/(2π) на отрезке [−a, a] и нулю вне его.
W (t) := 4. Найти дисперсию и ковариационную функцию случайной по-
w2 (−t), t 6 0. следовательности, имеющей спектральную плотность sξ (λ) = π − |λ|.
О т в е т. Dξ = rξ (0) = π 2 , rξ (n) = 2(−1)n n2 при n 6= 0.
Доказать, что процесс ξ(t) := W (t + h) − W (t), t ∈ R, является ста-
ционарным (h — положительная константа). Найти его дисперсию и 5. Доказать, что сумма ξ(t) := ξ1 (t) + ξ2 (t) двух некоррелирован-
ковариационную функцию. ных между собой стационарных процессов {ξi (t), t ∈ T } также явля-
ется стационарным процессом. Найти спектральную меру, спектраль-
ную плотность и ортогональную стохастическую меру процесса ξ(t).
О т в е т. Sξ = Sξ1 + Sξ2 , sξ = sξ1 + sξ2 , Zξ = Zξ1 + Zξ2 .
Задачи для самостоятельного решения 6. Определить спектральную плотность процесса из примера 8.5.
О т в е т. sξ (λ) = (1 − cos λh) (πλ2 ).
7. Пусть U , X — независимые величины, такие что U ∼ N (0, 1),
1. Пусть Uk , Vk — действительные некоррелированные X
случайные а X имеет плотность вероятности f (x) := 1/(π(1 √ + x2 )). Доказать, что
величины, такие что MUk = MVk = 0, DUk = DVk = σk2 , σk2 < ∞. itX
случайная функция ξ(t) := U (1 + iX)e / 2, t ∈ R, представляет со-
∞ k бой стандартный белый шум. ∞Z
Доказать, что процесс ξ(t) := (Uk cos λk t + Vk sin λk t), t ∈ T , будет
X
У к а з а н и е. Проверить для отображения Jξ (ϕ)(ω) := ϕ(t)ξω (t)dt
k=1
−∞
стационарным ({λk } — точки соответствующей спектральной обла-
сти). Найти ортогональную стохастическую меру Zξ (dλ), спектраль- следующие условия: а) J(ϕ) — случайная величина, линейно завися-
Z
∞
ную меру Sξ (dλ) и ковариационную функцию rξ (t). щая от ϕ; б) M{J(ϕ)} = 0; в) D{J(ϕ)} = ν |ϕ(t)|2 dt.
∞
iλk t
У к а з а н и е. Получить представление ξ(t) = , где
X
Wk e −∞
k=−∞ 8. Доказать теорему Котельникова: если спектр стационарной
λ−k := −λk , Wk := (Uk − iVk )/2, W−k := W k при k > 1, W0 := 0, при- функции {ξ(t), t ∈ R} ограничен, т. е. sξ (λ) = 0 вне конечного проме-
чем {Wk } — некоррелированные величины. ∞
sin(at − πk) πk
жутка [−a, a], то ξ(t) = (P-п.н.), иначе говоря,
X
∞ ∞ ξ
δλk + δ−λk δ +δ δ −δ at − πk a
О т в е т. Sξ = σk2 , Zξ = Uk λk −λk + Vk λk −λk
X X
k=−∞
2 2 ∞
2i функция целиком определяется последовательностью своих сечений.
k=1 k=1
(δa — мера Дирака, сосредоточенная в точке a), rξ (t) = σk2 cos λk t. У к а з а н и е. Получить разложение eitλ в ряд Фурье на [−a, a] по
X
k=1 Za
2. Пусть θ, η — независимые случайные величины, такие что θ системе {eiπk/a , k ∈ Z}. Подставить его в интеграл ξ(t) = eitλ Zξ (dλ).
равномерно распределена на (−π, π), а η имеет характеристическую −a
функцию ψ(z) и четную плотность вероятности f (x), равную нулю
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 14
- 15
- 16
- 17
- 18
- …
- следующая ›
- последняя »
