ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
З А Н Я Т И Е 7
ЭЛЕМЕНТЫ СТОХАСТИЧЕСКОГО
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ ИТО
П р и м е р 7.1. Найти стохастический интеграл Ито
t
Z
0
w(s)dw(s)
для стандартного винеровского процесса w(s).
П р и м е р 7.2. Динамика курса ξ(t) ценной бумаги описывается
уравнением Самуэльсона:
dξ(t) = ξ(t)(adt + σ dw(t)), t > 0, ξ(0) = 1, (7.1)
a и σ — неслучайные коэффициенты (σ > 0).
Доказать, что решение {ξ(t), t > 0} действительно существует.
Определить математическое ожидание m
ξ
(t), дисперсию D
ξ
(t), а так-
же коэффициент вариации v
ξ
(t) :=
p
D
ξ
(t)/m
ξ
(t), считая, что w(t) —
стандартный винеровский процесс.
Всюду далее будем считать, что w(t) — стандартный винеровский
процесс, если не оговорено противное.
П р и м е р 7.3. Доказать, что процесс ξ(t) = exp{αt + β w(t)}, t > 0,
называемый экономическим броуновским движением, удовлетворяет
уравнению Самуэльсона (7.1). Выразить α и β через коэффициенты
этого уравнения.
П р и м е р 7.4. Вывести формулу стохастического дифференциала
d(X
1
(t)X
2
(t)) произведения двух функций X
1
(t), X
2
(t), имеющих сто-
хастический дифференциал: а) относительно одного и тоже винеров-
ского процесса; б) относительно независимых винеровских пр оцессов.
ЭЛЕМЕНТЫ СТОХАСТИЧЕСКОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ ИТО 27
Задачи для самостоятельного решения
1. Найти m
η
(t), D
η
(t) и R
η
(t, s) для процесса η(t) : =
t
Z
0
w
2
(τ) dw(τ ).
О т в е т. m
η
≡ 0, D
η
(t) = t
3
, R
η
(t, s) = D
η
(min(t, s)).
2. Пусть η(t) — случайный процесс, определенный в задаче 1. Вы-
числить: а) M{w(t)η(t)}; б) M
w
2
(t)η(t)
.
У к а з а н и е. Пользуясь результатом примера 7.4, записать случай-
ные функции w(t)η(t) и w
2
(t)η(t) через стохастический интеграл Ито
и с.к.-интеграл.
О т в е т. а) t
2
/2; б) 0.
3. Найти решение стохастического дифференциального уравнения
dξ(t) =
1
2
ξ(t) dt + ξ(t) dw(t), ξ(0) = 1.
О т в е т. ξ(t) = e
w(t)
.
4. Показать, что случайная функция E(t) = exp{w(t) − t/2}, назы-
ваемая стохастической экспонентой, является мартингалом. Найти
ее математическое ожидание.
У к а з а н и е. Записать E(t) в виде E(t) = 1 +
t
Z
0
E(s)dw(s).
О т в е т. m
E
≡ 1.
5. Двумерный случайный процесс X(t) := col[cos w(t), sin w(t)] на-
зывается броуновским движением на единичной окружности. Найти
стохастическое дифференциальное уравнение, которому удовлетворя-
ет X(t).
О т в е т. dX(t) = −
1
2
X(t)dt + U X(t)dw(t), где U =
0 −1
1 0
—
матрица поворота на угол 90
◦
.
6. Доказать существование и единственность решения векторного
линейного стохастического дифференциального уравнения: dX(t) =
=
a(t)X(t) + u(t)
dt + b(t)dw(t), X(0) = 0, где a(t), u(t), b(t) — неслу-
чайные кусочно-непрерывные функции.
7. С помощью формулы Ито для решения векторного линейного
стохастического дифференциального уравнения вывести уравнения
метода моментов.
8. Найти стохастическое дифференциальное уравнение, которому
удовлетворяет случайная функция η(t) = sin ξ(t), если ξ(t) — решение
ЭЛЕМЕНТЫ СТОХАСТИЧЕСКОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ ИТО 27
ЗАНЯТИЕ 7
Задачи для самостоятельного решения
ЭЛЕМЕНТЫ СТОХАСТИЧЕСКОГО
Zt
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ ИТО 1. Найти mη (t), Dη (t) и Rη (t, s) для процесса η(t) := w2 (τ ) dw(τ ).
0
О т в е т. mη ≡ 0, Dη (t) = t3 , Rη (t, s) = Dη (min(t, s)).
2. Пусть η(t) — случайный процесс,
определенный в задаче 1. Вы-
числить: а) M{w(t)η(t)}; б) M w2 (t)η(t) .
У к а з а н и е. Пользуясь результатом примера 7.4, записать случай-
ные функции w(t)η(t) и w2 (t)η(t) через стохастический интеграл Ито
и с.к.-интеграл.
Zt О т в е т. а) t2/2; б) 0.
П р и м е р 7.1. Найти стохастический интеграл Ито w(s)dw(s) 3. Найти решение стохастического дифференциального уравнения
для стандартного винеровского процесса w(s). 0 1
dξ(t) = ξ(t) dt + ξ(t) dw(t), ξ(0) = 1.
2
П р и м е р 7.2. Динамика курса ξ(t) ценной бумаги описывается О т в е т. ξ(t) = ew(t) .
уравнением Самуэльсона: 4. Показать, что случайная функция E(t) = exp{w(t) − t/2}, назы-
ваемая стохастической экспонентой, является мартингалом. Найти
dξ(t) = ξ(t)(a dt + σ dw(t)), t > 0, ξ(0) = 1, (7.1) ее математическое ожидание. Zt
У к а з а н и е. Записать E(t) в виде E(t) = 1 + E(s)dw(s).
a и σ — неслучайные коэффициенты (σ > 0). О т в е т. mE ≡ 1. 0
Доказать, что решение {ξ(t), t > 0} действительно существует. 5. Двумерный случайный процесс X(t) := col[cos w(t), sin w(t)] на-
Определить математическое ожидание зывается броуновским движением на единичной окружности. Найти
p mξ (t), дисперсию Dξ (t), а так-
же коэффициент вариации vξ (t) := Dξ (t)/mξ (t), считая, что w(t) — стохастическое дифференциальное уравнение, которому удовлетворя-
стандартный винеровский процесс. ет X(t).
1 0 −1
О т в е т. dX(t) = − X(t)dt + U X(t)dw(t), где U = —
Всюду далее будем считать, что w(t) — стандартный винеровский 2 1 0
◦
процесс, если не оговорено противное. матрица поворота на угол 90 .
П р и м е р 7.3. Доказать, что процесс ξ(t) = exp{α t + β w(t)}, t > 0, 6. Доказать существование и единственность решения векторного
называемый экономическим броуновским движением, удовлетворяет линейного стохастического
дифференциального уравнения: dX(t) =
уравнению Самуэльсона (7.1). Выразить α и β через коэффициенты = a(t)X(t) + u(t) dt + b(t)dw(t), X(0) = 0, где a(t), u(t), b(t) — неслу-
этого уравнения. чайные кусочно-непрерывные функции.
7. С помощью формулы Ито для решения векторного линейного
П р и м е р 7.4. Вывести формулу стохастического дифференциала стохастического дифференциального уравнения вывести уравнения
d(X1 (t)X2 (t)) произведения двух функций X1 (t), X2 (t), имеющих сто- метода моментов.
хастический дифференциал: а) относительно одного и тоже винеров- 8. Найти стохастическое дифференциальное уравнение, которому
ского процесса; б) относительно независимых винеровских процессов. удовлетворяет случайная функция η(t) = sin ξ(t), если ξ(t) — решение
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 12
- 13
- 14
- 15
- 16
- …
- следующая ›
- последняя »
