Практикум по теории случайных процессов (сокращенный вариант). Панков А.Р - 13 стр.

24                      ВИНЕРОВСКИЙ ПРОЦЕСС                        [З. 6                             ВИНЕРОВСКИЙ ПРОЦЕСС                             25

         Задачи для самостоятельного решения                                  8. Курс некоторой ценной бумаги описывается случайной функ-
                                                                           цией X(t) := ew(t) где w(t) — винеровский процесс, X(kh) — цена по
                                                                           истечении k-го дня торгов, h — длительность торговой сессии. Требу-
                                                                          ется найти вероятность того, что: а) в течение недели курс акции по
   1. Для случайной величины Y := (w(t) − w(s))2 (t − s) найти
                                                                           крайней мере дважды упадет по результатам дневных торгов; б) хотя
функцию распределения, если t > s > 0, а w(τ ) — винеровский про-
                                                                           бы раз за неделю курс вдвое превысит стартовую котировку, если
цесс. Что более вероятно:  √ Y < MY или Y > MY ?                           с вероятностью 0,01 в течение дня курс опускается до половины от
   О т в е т. F Y (y) = 2Φ( y/σ) − 1, y > 0; P{Y < MY } ≈ 0,6826.
                                                                           цены открытия.
   2. Для стандартного винеровского процесса {w(τ ), τ > 0} при               У к а з а н и е. а) события {X(kh) < X((k − 1)h)}, k = 1, . . . , 7, явля-
фиксированных моментах 0 < s < t < u построить с.к.-оптимальные            ются независимыми и равновероятными; б) P{τx 6 7h} — вероятность
оценки а) ŵ(s) по {w(t), w(u)} (задача экстраполяции); б) ŵ(u) по        искомого события, а P{τx 6 h} — известная вероятность, где x = ln 2
{w(s), w(t)} (задача прогнозирования). Определить среднеквадратич-         (см. также пример 6.2).
ные погрешности ∆(τ ) := M(ŵ(τ ) − w(τ ))2 .                                 О т в е т. а) 15/16; б) ≈ 0,3303.
   У к а з а н и е. См. решение примера 6.1.
   О т в е т. а) ŵ(s) = s w(t)/t, ∆(s) = (t − s)s/t; б) ŵ(u) = w(t),
∆(u) = u − t.
   3. Определить одномерное распределение случайной функции
w(t) = max w(τ ), t > 0, где w(τ ) — стандартный винеровский процесс.
       τ ∈[0,t]
   У к а з а н и е. Учесть P{w(t) > x} = P{τx 6 t} и использовать ре-
шение примера 6.2.             √                   p            2
   О т в е т. F w(x; t) = 2Φ(x/ t) − 1, p w(x; t) = 2/(πt) · e−x /(2t) .
   4. Доказать, что величины |w(t)| и w(t) одинаково распределены.
   5. Установить следующее свойство самоподобия винеровского про-
цесса w(t): для всякого c > 0 случайная функция X(t) := w(c t), t > 0,
является винеровским процессом.
   У к а з а н и е. Использовать определение винеровского процесса.
   6. Пусть {w(t), t > 0} — процесс броуновского движения (см. при-
мер 2.5). Показать, что случайная функция X(t) := t w(1/t), t > 0,
X(0) := 0, также является процессом броуновского движения.
   У к а з а н и е. Проверить гауссовость и вычислить ковариационную
функцию.
   7. Скорость U (t) частицы массы m в жидкой среде вязкости β
определяется гауссовской случайной функцией, удовлетворяющей
уравнению Ланжевена: mU̇ (t) = −β U (t) + ẇ(t), где w(t) — процесс
броуновского движения. Доказать сходимость по распределению
функции U (t) к N (0, DU ) при t → +∞. Определить диапазон измене-
ния значений U (t), p возможных
                             p с 
вероятностью 0,997, при больших t.
   О т в е т. −3/ 2βm, 3/ 2βm .