ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
20 ПРОЦЕССЫ С ОРТОГОНАЛЬНЫМИ ПРИРАЩЕНИЯМИ [З. 5
П р и м е р 5.5. Случайная функция ξ(t) удовлетворяет линейному
стохастическому дифференциальному уравнению второго порядка
¨
ξ(t) + 2αω(
˙
ξ(t) − δ) + ω
2
ξ(t) = gV (t), (5.2)
где V (t) — стандартный белый шум, а α, δ, ω и g — постоянные.
Найти предельные значения m
ξ
, σ
ξ
математического ожидания и
среднеквадратичного отклонения, если αω > 0.
Задачи для самостоятельного решения
1. Доказать, что если для центрированной случайной функ-
ции {ξ(t), t > 0}, такой что ξ(0) = 0, выполнено одно из условий:
а) D{ξ(t) − ξ(s)} = D
ξ
(t)−D
ξ
(s) (t > s) или б) R
ξ
(t, s) = D
ξ
(min(t, s)),
то ξ(t) — процесс с ортогональными приращениями.
2. Обосновать следующие утверждения: а) если {V (t), t > 0}—
белый шум интенсивности λ(t), то ξ(t) =
t
Z
0
V (s) ds — процесс с ортого-
нальными приращениями и дисперсией D
ξ
(t) =
t
Z
0
λ(s) ds; б) если же
V (t) — гауссовский стандартный белый, то ξ(t) — процесс броуновско-
го движения (ср. с примером 5.1).
3. Рассматривая стохастический интеграл η(t) :=
t
Z
t
0
b(τ)dξ(τ),
t > t
0
, как случайный процесс, найти его ковариационную функцию.
Доказать, что η(t) — процесс с ортогональными приращениями.
О т в е т. R
η
(t, s) =
min(t,s)
Z
t
0
|b(τ)|
2
dτ.
4. Найти ковариационную функцию R
ξ
(t, s) процесса из приме-
ра 5.3. В случае a < 0 исследовать поведение R
ξ
(t, t −τ ) при t → +∞.
У к а з а н и е. Записать ξ(t) через интеграл с белым шумом.
О т в е т. R
ξ
(t, s) =
b
2
−2a
e
a|t−s|
+ e
a(t+s)
D
ν
+
b
2
2a
при a 6= 0 и
ПРОЦЕССЫ С ОРТОГОНАЛЬНЫМИ ПРИРАЩЕНИЯМИ 21
R
ξ
(t, s) = D
ν
+ b
2
min(t, s), a = 0; lim
t→+∞
R
ξ
(t, t −τ) =
b
2
2|a|
e
−|aτ|
, a < 0.
5. При каких коэффициентах a(t) и b(t) процесс ξ(t), удовлетво-
ряющий линейному стохастическому дифференциальному уравнению
˙
ξ(t) = a(t)ξ(t) + b(t)V (t) со стационарным белым шумом V (t), являет-
ся с.к.-дифференцируемым?
У к а з а н и е. См. указание к предыдущей задаче.
О т в е т. Только при b(t) = 0 почти всюду.
6. Пусть {V
k
}— независимые величины с MV
k
= 0 и DV
k
= σ
2
k
, где
X
k
σ
2
k
< ∞; {t
k
}— возрастающая числовая последовательность. Тре-
буется: а) доказать, что η(t) :=
X
k : t
k
6t
V
k
— центрированный процесс
с независимыми приращениями; б) найти его дисперсию; в) указать
способ вычисления стохастического ин теграла J :=
+∞
Z
−∞
ϕ(t) dη(t).
О т в е т. D
η
(t) =
X
k : t
k
6t
σ
2
k
; J =
X
k
ϕ(t
k
)V
k
, причем ряд сходится
в с.к.-смысле для любой функции ϕ(t), такой что
X
k
|ϕ(t
k
)|
2
σ
2
k
< ∞.
7. При каких коэффициентах уравнение 2-го порядка
¨
ξ(t)+α
1
˙
ξ(t)+
+α
0
ξ(t) = β
1
˙
V (t)+β
0
V (t) асимптотически устойчиво? При найденных
коэффиц иентах найти предельные значения m
ξ
, D
ξ
математического
ожидания и дисперсии, если V (t) — стандартный белый шум.
У к а з а н и е. Записать уравнение в виде
˙
X(t) = aX(t) + bV (t), где
X(t) ∈ R
2
, X
1
(t) = ξ(t), a =
"
0 1
−α
0
−α
1
#
, b =
"
β
1
β
0
− α
1
β
1
#
.
О т в е т. При положительных α
1
и α
0
; m
ξ
= 0, D
ξ
=
β
2
0
+ α
0
β
2
1
2α
0
α
1
.
8. Пусть X :=
t
Z
0
f(τ) dξ(τ ), Y :=
t
Z
0
g(τ) ξ(τ) dτ , где ξ(τ) — процесс
с ортогональными приращениями и D
ξ
(τ) = τ , τ > 0, а f(τ ), g(τ) —
непрерывные неслучайные функции. Найти DX, DY и cov{X, Y }.
У к а з а н и е. Записать Y как стохастический интеграл с помощью
формулы интегрирования по частям.
20 ПРОЦЕССЫ С ОРТОГОНАЛЬНЫМИ ПРИРАЩЕНИЯМИ [З. 5 ПРОЦЕССЫ С ОРТОГОНАЛЬНЫМИ ПРИРАЩЕНИЯМИ 21
П р и м е р 5.5. Случайная функция ξ(t) удовлетворяет линейному b2 −|aτ |
Rξ (t, s) = Dν + b2 min(t, s), a = 0; lim Rξ (t, t − τ ) = e , a < 0.
стохастическому дифференциальному уравнению второго порядка t→+∞ 2|a|
5. При каких коэффициентах a(t) и b(t) процесс ξ(t), удовлетво-
¨ + 2α ω(ξ(t)
ξ(t) ˙ − δ) + ω 2 ξ(t) = gV (t), (5.2) ряющий линейному стохастическому дифференциальному уравнению
˙ = a(t)ξ(t) + b(t)V (t) со стационарным белым шумом V (t), являет-
ξ(t)
где V (t) — стандартный белый шум, а α, δ, ω и g — постоянные. ся с.к.-дифференцируемым?
Найти предельные значения mξ , σξ математического ожидания и У к а з а н и е. См. указание к предыдущей задаче.
среднеквадратичного отклонения, если α ω > 0. О т в е т. Только при b(t) = 0 почти всюду.
X 2
6. Пусть {Vk } — независимые величины с MVk = 0 и DVk = σk2 , где
σk < ∞; {tk } — возрастающая числовая последовательность. Тре-
k
буется: а) доказать, что η(t) := Vk — центрированный процесс
X
Задачи для самостоятельного решения
k : tk 6t
с независимыми приращениями; б) найти его дисперсию; в) указать
Z
+∞
1. Доказать, что если для центрированной случайной функ-
способ вычисления стохастического интеграла J := ϕ(t) dη(t).
ции {ξ(t), t > 0}, такой что ξ(0) = 0, выполнено одно из условий:
−∞
а) D{ξ(t) − ξ(s)} = Dξ (t)−Dξ (s) (t > s) или б) Rξ (t, s) = Dξ (min(t, s)),
О т в е т. Dη (t) = σk2 ; J = ϕ(tk )Vk , причем ряд сходится
X X
то ξ(t) — процесс с ортогональными приращениями.
k : tk 6t k
2. Обосновать следующие утверждения: а) если {V (t), t > 0} —
в с.к.-смысле для любой функции ϕ(t), такой что |ϕ(tk )|2 σk2 < ∞.
X
Zt
k
белый шум интенсивности λ(t), то ξ(t) = V (s) ds — процесс с ортого-
7. При каких коэффициентах уравнение 2-го порядка ξ(t)+α¨ ˙
1 ξ(t)+
0 Zt
нальными приращениями и дисперсией Dξ (t) = λ(s) ds; б) если же +α0 ξ(t) = β1 V̇ (t)+β0 V (t) асимптотически устойчиво? При найденных
0
коэффициентах найти предельные значения mξ , Dξ математического
V (t) — гауссовский стандартный белый, то ξ(t) — процесс броуновско- ожидания и дисперсии, если V (t) — стандартный белый шум.
го движения (ср. с примером 5.1). У к а з а н и е. Записать уравнение в виде Ẋ(t) = aX(t) + bV (t), где
Zt " # " #
3. Рассматривая стохастический интеграл η(t) := b(τ )dξ(τ ), 0 1 β1
2
t0
X(t) ∈ R , X1 (t) = ξ(t), a = , b= .
−α0 −α1 β0 − α1 β1
t > t0 , как случайный процесс, найти его ковариационную функцию.
Доказать, что η(t) — процесс с ортогональными приращениями. β02 + α0 β12
min(t,s) О т в е т. При положительных α1 и α0 ; mξ = 0, Dξ = .
Z 2α0 α1
О т в е т. Rη (t, s) = |b(τ )|2 dτ . Zt Zt
t0 8. Пусть X := f (τ ) dξ(τ ), Y := g(τ ) ξ(τ ) dτ , где ξ(τ ) — процесс
4. Найти ковариационную функцию Rξ (t, s) процесса из приме- 0 0
ра 5.3. В случае a < 0 исследовать поведение Rξ (t, t − τ ) при t → +∞. с ортогональными приращениями и Dξ (τ ) = τ , τ > 0, а f (τ ), g(τ ) —
У к а з а н и е. Записать ξ(t) через интеграл с белым шумом. непрерывные неслучайные функции. Найти DX, DY и cov{X, Y }.
У к а з а н и е. Записать Y как стохастический интеграл с помощью
b2 a|t−s| b2
О т в е т. Rξ (t, s) = e + ea(t+s) Dν + при a 6= 0 и формулы интегрирования по частям.
−2a 2a
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 9
- 10
- 11
- 12
- 13
- …
- следующая ›
- последняя »
