ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
З А Н Я Т И Е 4
ИНТЕГРИРОВАНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИЙ
П р и м е р 4.1. Случайная функция ξ(t) задана формулой
ξ(t) = U
1
sin νt + U
2
cos νt, t > 0,
где U
1
, U
2
— независимые гауссовские случайные величины с нулевым
средним и дисперсией D > 0, а ν — положительная константа.
Найти явный вид с.к.-интеграла
η(t) =
t
Z
0
ξ(τ) dτ, t > 0,
вычислить его математическое ожидание m
η
(t) и дисперсию D
η
(t), а
также определить одномерный закон распределения.
П р и м е р 4.2. Рассмотрим интеграл в среднем квадратичном от
процесса броуновского движения {w(τ ), τ > 0}:
ξ(t) =
t
Z
0
w(τ) dτ, t > 0.
Требуется определить ковариационную функцию R
ξ
(t, s) и диспер-
сию D
ξ
(t) процесса ξ(t).
П р и м е р 4.3. Случайная функция {η(t), t > 0} удовлетворяет
уравнению
˙η(t) + αη(t) = ξ, (4.1)
где ˙η(t) — с.к.-производная, α — вещественное число, ξ — случайная
величина, такая что Dξ > 0 и cov{η(0), ξ} = 0.
Найти решение уравнения (4.1). При каких значениях коэффици-
ента α существует l.i.m.
t→+∞
η(t)?
ИНТЕГРИРОВАНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИЙ 17
П р и м е р 4.4. Скорость поступления информации через удаленное
соединение к конечному пользователю описывается случайным про-
цессом V (t) с математическим ожиданием m
V
= 10
5
бит/c и ковариа-
ционной функцией R
V
(t, s) = σ
V
2
max(1 −|t −s|/δ, 0), где σ
V
= 0,5 m
V
,
δ = 1 мин.
Найти математическое ожидание и дисперсию количества инфор-
мации J, полученной на промежутке [0, T ], T > δ. Оценить сверху
вероятность того, что объем поступивших данных окажется в два раза
меньше своего среднего значения, если а) T = 5 мин; б) T = 1 ч.
Задачи для самостоятельного решения
1. Пусть ξ(t) = 1/τ
2
при t 6 τ и ξ(t) = 0 при t > τ , где t ∈ [0, 1],
а τ — случайная величина, равномерно распределенная на отрезке
[0, 1]. Будет ли существовать интеграл X :=
1
Z
0
ξ(t) dt: а) потраекторно;
б) в среднем квадратичном?
У к а з а н и е. Использовать M X
2
= ∞.
О т в е т. а) да; б) нет.
2. Определить одномерный закон распределения случайной функ-
ции {η(t), t > 0}, удовлетворяющей уравнению ˙η(t) = αη(t) + ξ при
начальном условии η(0) = ν, если известно, что постоянная α отлична
от нуля, а величины ξ и ν образуют гауссовский вектор с M ξ = m
ξ
,
M ν = m
ν
, D ξ = D
ξ
, D ν = D
ν
, cov{ξ, ν} = ρ.
О т в е т. η(t) ∼ N(m
η
(t), D
η
(t)), где m
η
(t) = e
αt
m
ν
+
m
ξ
α
(e
αt
− 1),
D
η
(t) = e
2αt
D
ν
+
D
ξ
α
2
(e
αt
− 1)
2
+
2ρ
α
e
2αt
− e
αt
.
3. Считая процесс V (t), рассмотренный в примере 4.4, гауссов-
ским, вычислить вероятность P{J < M J/2}.
О т в е т. а) Φ(−2,315) ≈ 0,01031; б) Φ(−7,768) ≈ 0.
4. Доказать, что если P{
˙
ξ(t) = 0} = 1 при каждом t ∈ [a, b], то су-
ществует число c ∈ R, такое что ξ(t) = c (P-п.н.) при каждом t ∈ [a, b].
5. Пусть η(t) =
t
Z
0
ξ(τ) dτ, где {ξ(τ), τ > 0} — случайная функция,
2 А. Р. Панков и К. В. Семенихин
ИНТЕГРИРОВАНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИЙ 17
ЗАНЯТИЕ 4
П р и м е р 4.4. Скорость поступления информации через удаленное
соединение к конечному пользователю описывается случайным про-
ИНТЕГРИРОВАНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИЙ цессом V (t) с математическим ожиданием mV = 105 бит/c и ковариа-
ционной функцией RV (t, s) = σV2 max(1 − |t − s|/δ, 0), где σV = 0,5 mV ,
δ = 1 мин.
Найти математическое ожидание и дисперсию количества инфор-
мации J, полученной на промежутке [0, T ], T > δ. Оценить сверху
вероятность того, что объем поступивших данных окажется в два раза
меньше своего среднего значения, если а) T = 5 мин; б) T = 1 ч.
П р и м е р 4.1. Случайная функция ξ(t) задана формулой
ξ(t) = U1 sin νt + U2 cos νt, t > 0,
Задачи для самостоятельного решения
где U1 , U2 — независимые гауссовские случайные величины с нулевым
средним и дисперсией D > 0, а ν — положительная константа.
Найти явный вид с.к.-интеграла 1. Пусть ξ(t) = 1/τ 2 при t 6 τ и ξ(t) = 0 при t > τ , где t ∈ [0, 1],
Zt а τ — случайная величина, равномерно распределенная на отрезке
Z1
η(t) = ξ(τ ) dτ, t > 0,
[0, 1]. Будет ли существовать интеграл X := ξ(t) dt: а) потраекторно;
0
б) в среднем квадратичном? 0
вычислить его математическое ожидание mη (t) и дисперсию Dη (t), а У к а з а н и е. Использовать MX 2 = ∞.
также определить одномерный закон распределения. О т в е т. а) да; б) нет.
П р и м е р 4.2. Рассмотрим интеграл в среднем квадратичном от 2. Определить одномерный закон распределения случайной функ-
процесса броуновского движения {w(τ ), τ > 0}: ции {η(t), t > 0}, удовлетворяющей уравнению η̇(t) = α η(t) + ξ при
начальном условии η(0) = ν, если известно, что постоянная α отлична
Zt
от нуля, а величины ξ и ν образуют гауссовский вектор с Mξ = mξ ,
ξ(t) = w(τ ) dτ, t > 0.
Mν = mν , Dξ = Dξ , Dν = Dν , cov{ξ, ν} = ρ.
0 m
О т в е т. η(t) ∼ N (mη (t), Dη (t)), где mη (t) = eαt mν + ξ (eαt − 1),
Требуется определить ковариационную функцию Rξ (t, s) и диспер- α
D 2 2ρ 2αt
сию Dξ (t) процесса ξ(t). Dη (t) = e2αt Dν + 2ξ (eαt − 1) + e − eαt .
α α
П р и м е р 4.3. Случайная функция {η(t), t > 0} удовлетворяет 3. Считая процесс V (t), рассмотренный в примере 4.4, гауссов-
уравнению ским, вычислить вероятность P{J < MJ/2}.
О т в е т. а) Φ(−2,315) ≈ 0,01031; б) Φ(−7,768) ≈ 0.
η̇(t) + α η(t) = ξ, (4.1) ˙ = 0} = 1 при каждом t ∈ [a, b], то су-
4. Доказать, что если P{ξ(t)
где η̇(t) — с.к.-производная, α — вещественное число, ξ — случайная ществует число c ∈ R, такое что ξ(t) = c (P-п.н.) при каждом t ∈ [a, b].
величина, такая что Dξ > 0 и cov{η(0), ξ} = 0. Zt
Найти решение уравнения (4.1). При каких значениях коэффици- 5. Пусть η(t) = ξ(τ ) dτ , где {ξ(τ ), τ > 0} — случайная функция,
ента α существует l.i.m. η(t)? 0
t→+∞
2 А. Р. Панков и К. В. Семенихин
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 7
- 8
- 9
- 10
- 11
- …
- следующая ›
- последняя »
