ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
18 ИНТЕГРИРОВАНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИЙ [З. 4
такая что m
ξ
(t) = e
−t
, Γ
ξ
(t, s) = e
− max(t,s)
. Найти среднее и функ-
цию вторых моментов случайного процесса η(t) (ср. с задачей 11 из
предыдущего занятия).
О т в е т. m
η
(t) = 1 −e
−t
, Γ
η
(t, s) = 2 − (2 + u)e
−u
− ue
−v
, где обо-
значено u := min(t, s), v := max(t, s).
6. Найти с.к.-предел случайной функции
ξ(t) =
1
2t
t
Z
−t
ξ(u) du при
t → +∞, если {ξ(u), u ∈ R}— процесс с постоянным средним a и
ковариационной функцией R
ξ
(v, u) = b
2
cos(v − u).
У к а з а н и е. Проверить: m
ξ
(t) = a и D
ξ
(t) → 0 при t → +∞.
О т в е т. l.i.m.
t→+∞
ξ(t) = a.
З А Н Я Т И Е 5
ПРОЦЕССЫ С ОРТОГОНАЛЬНЫМИ
ПРИРАЩЕНИЯМИ
П р и м е р 5.1. Доказать, что процесс броуновского движения
{w(t), t > 0} является процессом с ортогональными и независимыми
приращениями, а его формальная производная — гауссовский с тан-
дартный белый шум на [0, ∞).
П р и м е р 5.2. Доказать следующий аналог закона больших чисел:
если {V (t), t > 0} — белый шум с ограниченной интенсивностью, то
1
t
t
Z
0
V (τ ) dτ
с.к.
−−−→ 0 при t → +∞,
иначе говоря, для белого шума «среднее по времени» совпадает
со «средним по пространству», т.е. с его математическим ожиданием.
П р и м е р 5.3. Случайная функция {ξ(t), t > 0} удовлетворяет
уравнению
˙
ξ(t) = aξ(t) + bV (t), ξ(0) = ν, (5.1)
где a, b — постоянные коэффициенты, V (t) — стандартный белый шум,
некоррелированный с начальным условием ν, имеющим среднее m
ν
и
дисперсию D
ν
.
Найти а) решение данного уравнения; б) вычислить m
ξ
(t) и D
ξ
(t)
с помощью метода моментов; в) рассмотреть поведение этих характе-
ристик при t → +∞ в зависимости от коэффициентов.
П р и м е р 5.4. В условиях примера 5.3 найти характеристическую
функцию Ψ
ξ
(z; t), если a 6= 0, V (t) — гауссовский белый шум, а на-
чальное значение ν равномерно распределено на [−c, c], где c > 0.
18 ИНТЕГРИРОВАНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИЙ [З. 4
ЗАНЯТИЕ 5
такая что mξ (t) = e−t , Γξ (t, s) = e− max(t,s) . Найти среднее и функ-
цию вторых моментов случайного процесса η(t) (ср. с задачей 11 из
предыдущего занятия). ПРОЦЕССЫ С ОРТОГОНАЛЬНЫМИ
О т в е т. mη (t) = 1 − e−t , Γη (t, s) = 2 − (2 + u)e−u − u e−v , где обо-
значено u := min(t, s), v := max(t, s). Zt
ПРИРАЩЕНИЯМИ
1
6. Найти с.к.-предел случайной функции ξ(t) = ξ(u) du при
2t
−t
t → +∞, если {ξ(u), u ∈ R} — процесс с постоянным средним a и
ковариационной функцией Rξ (v, u) = b2 cos(v − u).
У к а з а н и е. Проверить: mξ (t) = a и Dξ (t) → 0 при t → +∞.
О т в е т. l.i.m. ξ(t) = a.
t→+∞
П р и м е р 5.1. Доказать, что процесс броуновского движения
{w(t), t > 0} является процессом с ортогональными и независимыми
приращениями, а его формальная производная — гауссовский стан-
дартный белый шум на [0, ∞).
П р и м е р 5.2. Доказать следующий аналог закона больших чисел:
если {V (t), t > 0} — белый шум с ограниченной интенсивностью, то
Zt
1 с.к.
V (τ ) dτ −−−→ 0 при t → +∞,
t
0
иначе говоря, для белого шума «среднее по времени» совпадает
со «средним по пространству», т. е. с его математическим ожиданием.
П р и м е р 5.3. Случайная функция {ξ(t), t > 0} удовлетворяет
уравнению
˙ = a ξ(t) + b V (t),
ξ(t) ξ(0) = ν, (5.1)
где a, b — постоянные коэффициенты, V (t) — стандартный белый шум,
некоррелированный с начальным условием ν, имеющим среднее mν и
дисперсию Dν .
Найти а) решение данного уравнения; б) вычислить mξ (t) и Dξ (t)
с помощью метода моментов; в) рассмотреть поведение этих характе-
ристик при t → +∞ в зависимости от коэффициентов.
П р и м е р 5.4. В условиях примера 5.3 найти характеристическую
функцию Ψξ (z; t), если a 6= 0, V (t) — гауссовский белый шум, а на-
чальное значение ν равномерно распределено на [−c, c], где c > 0.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 8
- 9
- 10
- 11
- 12
- …
- следующая ›
- последняя »
