Практикум по теории случайных процессов (сокращенный вариант). Панков А.Р - 8 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МАИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

14 НЕПРЕРЫВНОСТЬ И ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬ СЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИЙ [З. 3
риационной функцией R
X
(t, s) = (1 + α|t − s|)e
−β|t−s|
дифференциру-
ем в среднем квадратичном? Определить дисперсию и ковариацион-
ную функцию с.к.-производной (в том случае, когда она существует).
П р и м е р 3.5. Гауссовский случайный процесс {X(t), t > 0} имеет
математическое ожидание m
X
(t) = b(1 − e
−a t
)/a и ковариационную
функцию R
X
(t, s) = b
2
(e
−a (t+s)
− e
−a t
− e
−a s
+ 1)/(9a
2
), где a, b > 0.
Вычислить P{
˙
X(t) + aX(t) > 0}. Существует ли A := l.i.m.
t→+∞
X(t)?
Если с.к.-предел существует, то каково распределение величины A?
Задачи для самостоятельного решения
1. При каких a, b ∈ R (b 6= 0) для случайного процесса {G(t), t > 0}
с математическим ожиданием m
G
(t) = e
a t
и ковариационной функци-
ей R
G
(t, s) = e
a(t+s)
e
b
2
min(t,s)
− 1
определен с.к.-предел l.i.m.
t→+∞
G(t)?
О т в е т. С.к.-предел существует, если и только если 2a < −b
2
.
2. Пусть гауссовская случайная функция {X(t), t > 0} имеет
m
X
(t) = 1 − 2
−t
и R
X
(t, s) = 2(1 − 2
− min(t,s)
). Требуется вычислить
P
l.i.m.
t→t
0
X(t) > 1
, если а) t
0
= 0; б) t
0
= 1; в) t
0
= +∞.
О т в е т. а) 0; б) 1 − Φ(1/2) ≈ 0,3085; в) 0,5.
3. Пусть случайная функция ξ(t) с.к.-непрерывна на конечном
промежутке T = [a, b]. Доказать, что найдется такое конечное C, что
M |ξ(t)|
2
6 C для любого t ∈ T .
4. Допустим, что процесс ξ(t), рассмотренный в примере 3.4, яв-
ляется гауссовским. Доказать, что при любых значениях п араметров
α > 0 и β > 0 сущ ествует непрерывная версия процесса ξ(t).
У к а з а н и е. Получить оценку D{ξ(t) − ξ(s)} 6 2(α + β)|t − s| и
воспользоваться теоремой Колмогорова о существовании непрерыв-
ной модификации.
5. Проверить, что случайная функция, описанная в примере 3.3,
не обладает с.к.-производной.
6. Доказать, что процесс броуновского движения w (см. при-
мер 2.5) обладает непрерывной модификацией.
НЕПРЕРЫВНОСТЬ И ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬ СЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИЙ 15
У к а з а н и е. Определение процесса броуновского движения совпа-
дает с условиями примера 3.3 для случая γ = 1.
7. Пусть центрированный гауссовский процесс {ξ(t), t ∈ R} имеет
ковариационную функцию R
ξ
(t, s) = e
−α(t−s)
2
, где α > 0. Для средне-
квадратичной пр оизводной
˙
ξ(t) найти дисперс ию и ковариационную
функцию, а также взаимную ковариационную функцию R
ξ
˙
ξ
(t, s).
О т в е т. R
ξ
˙
ξ
(t, s) =
∂R
ξ
(t, s)
∂s
= 2α(t − s) exp{−α(t − s)
2
}, R
˙
ξ
(t, s) =
=
∂
2
R
ξ
(t, s)
∂t∂s
= 2α(1 −2α(t −s)
2
) exp{−α(t −s)
2
}, D
˙
ξ
(t) = R
˙
ξ
(t, t) = 2α.
8. В условиях предыдущей задачи вычислить следующие вероят-
ности: а) P
|
˙
ξ(t)| > 2
√
α
; б) P
(
˙
ξ(t)/
√
α − ξ(t))
2
< 12
.
О т в е т. а) 2(1 − Φ(
√
2)) ≈ 0,1573; б) 2Φ(2) − 1 ≈ 0,9545.
9. Пусть X(t) — процесс из примера 3.4 при α = β. При каких t и s
сечения X(t),
˙
X(s): а) некоррелированы; б) наиболее коррелированы?
О т в е т. При а) t = s; б) |t − s| = 1/β.
10. Пусть A ∼ N(0, 1), V ∼ C(1) — независимые величины. Явля-
ется ли случайная функция Z(t) := Ae
i tV
, t ∈ R: а) дифференцируе-
мой; б) с.к.-дифференцируемой?
У к а з а н и е. См. пример 2.4.
О т в е т. а) да; б) нет.
11. Будет ли случайная функция η(t) := min(t, ρ) при t ∈ [0, 1]:
а) дифференцируемой; б) с.к.-дифференцируемой, если ρ ∼ R(0, 1)?
У к а з а н и е. Рассмотреть Γ
η
(t, s) =
t
Z
0
s
Z
0
{1 − max(v, u)}dv du.
О т в е т. а) нет; б) да.
12. Доказать, что если с.к.-производная процесса {X(t), t > t
0
}
эквивалентна непрерывной случайной функции, то существует моди-
фикация процесса X(t) с дифференцируемыми траекториями.
У к а з а н и е.
e
X
ω
(t) := X
ω
(t
0
)+
t
Z
t
0
Y
ω
(τ)dτ — искомая модификация,
где Y — непрерывная версия с.к.-производной
˙
X.
13. Доказать, что если процесс ξ(t) из задачи 7 гауссовский, то он
эквивалентен некоторой дифференцируемой случайной функции.
14     НЕПРЕРЫВНОСТЬ И ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬ СЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИЙ            [З. 3           НЕПРЕРЫВНОСТЬ И ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬ СЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИЙ                     15

риационной функцией RX (t, s) = (1 + α|t − s|)e−β|t−s| дифференциру-              У к а з а н и е. Определение процесса броуновского движения совпа-
ем в среднем квадратичном? Определить дисперсию и ковариацион-                 дает с условиями примера 3.3 для случая γ = 1.
ную функцию с.к.-производной (в том случае, когда она существует).                7. Пусть центрированный гауссовский процесс {ξ(t), t ∈ R} имеет
                                                                                                                             2
   П р и м е р 3.5. Гауссовский случайный процесс {X(t), t > 0} имеет          ковариационную функцию Rξ (t, s) = e−α(t−s) , где α > 0. Для средне-
математическое ожидание mX (t) = b (1 − e−a t )/a и ковариационную             квадратичной производной ξ(t) ˙   найти дисперсию и ковариационную
функцию RX (t, s) = b2 (e−a (t+s) − e−a t − e−a s + 1)/(9a2 ), где a, b > 0.   функцию, а также взаимную ковариационную функцию Rξξ̇ (t, s).
   Вычислить P{Ẋ(t) + a X(t) > 0}. Существует ли A := l.i.m. X(t)?                                           ∂Rξ (t, s)
                                                               t→+∞                О т в е т. Rξξ̇ (t, s) =              = 2α(t − s) exp{−α(t − s)2 }, Rξ̇ (t, s) =
                                                                                                                ∂s
Если с.к.-предел существует, то каково распределение величины A?                   ∂ 2 Rξ (t, s)
                                                                               =                 = 2α(1 − 2α(t − s)2 ) exp{−α(t − s)2 }, Dξ̇ (t) = Rξ̇ (t, t) = 2α.
                                                                                       ∂t∂s
                                                                                  8. В условиях
                                                                                                   предыдущей задачи
                                                                                                                        вычислить следующие вероят-
                                                                                               ˙       √             ˙   √
                                                                               ности: а) P |ξ(t)|   > 2 α ; б) P (ξ(t)/    α − ξ(t))2 < 12 .
                                                                                                         √
            Задачи для самостоятельного решения                                   О т в е т. а) 2(1 − Φ( 2)) ≈ 0,1573; б) 2Φ(2) − 1 ≈ 0,9545.
                                                                                  9. Пусть X(t) — процесс из примера 3.4 при α = β. При каких t и s
                                                                               сечения X(t), Ẋ(s): а) некоррелированы; б) наиболее коррелированы?
   1. При каких a, b ∈ R (b 6= 0) для случайного процесса {G(t), t > 0}           О т в е т. При а) t = s; б) |t − s| = 1/β.
с математическим ожиданием mG(t) = ea t и ковариационной функци-                  10. Пусть A ∼ N (0, 1), V ∼ C(1) — независимые величины. Явля-
                      2                                                       ется ли случайная функция Z(t) := A ei tV , t ∈ R: а) дифференцируе-
ей RG(t, s) = ea(t+s) eb min(t,s) − 1 определен с.к.-предел l.i.m. G(t)?
                                                               t→+∞            мой; б) с.к.-дифференцируемой?
   О т в е т. С.к.-предел существует, если и только если 2a < −b2 .               У к а з а н и е. См. пример 2.4.
   2. Пусть гауссовская случайная функция {X(t), t > 0} имеет                     О т в е т. а) да; б) нет.
 X (t) = 1 − 2
m              −t
                   и RX (t, s) = 2(1 − 2− min(t,s) ). Требуется вычислить         11. Будет ли случайная функция η(t) := min(t, ρ) при t ∈ [0, 1]:
P l.i.m. X(t) > 1 , если а) t0 = 0; б) t0 = 1; в) t0 = +∞.                     а) дифференцируемой; б) с.к.-дифференцируемой, если ρ ∼ R(0, 1)?
     t→t0                                                                                                                       Zt Zs
   О т в е т. а) 0; б) 1 − Φ(1/2) ≈ 0,3085; в) 0,5.                               У к а з а н и е. Рассмотреть Γη (t, s) = {1 − max(v, u)} dv du.
   3. Пусть случайная функция ξ(t) с.к.-непрерывна на конечном                    О т в е т. а) нет; б) да.               00
промежутке T = [a, b]. Доказать, что найдется такое конечное C, что
M|ξ(t)|2 6 C для любого t ∈ T .                                                   12. Доказать, что если с.к.-производная процесса {X(t), t > t0 }
                                                                               эквивалентна непрерывной случайной функции, то существует моди-
   4. Допустим, что процесс ξ(t), рассмотренный в примере 3.4, яв-             фикация процесса X(t) с дифференцируемыми траекториями.
ляется гауссовским. Доказать, что при любых значениях параметров                                                          Zt
α > 0 и β > 0 существует непрерывная версия процесса ξ(t).                                          eω (t) := Xω (t0 ) + Yω (τ )dτ — искомая модификация,
                                                                                   У к а з а н и е. X
   У к а з а н и е. Получить оценку D{ξ(t) − ξ(s)} 6 2(α + β)|t − s| и
                                                                                                                          t0
воспользоваться теоремой Колмогорова о существовании непрерыв-
ной модификации.                                                               где Y — непрерывная версия с.к.-производной Ẋ.
   5. Проверить, что случайная функция, описанная в примере 3.3,                  13. Доказать, что если процесс ξ(t) из задачи 7 гауссовский, то он
не обладает с.к.-производной.                                                  эквивалентен некоторой дифференцируемой случайной функции.
   6. Доказать, что процесс броуновского движения w (см. при-
мер 2.5) обладает непрерывной модификацией.

Страницы