Практикум по теории случайных процессов (сокращенный вариант). Панков А.Р - 7 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МАИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

12 МОМЕНТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ [З. 2
8. Пус ть p-мерный случайный процесс {X(n), n = 0, 1, . . . } задан
уравнением авторегрессии 1-го порядка X(n) = αX(n − 1) + β V
n
+ γ,
n > 1, где {V
n
}— q-мерный стандартный дискретный белый шум, т. е.
M{V
n
} = 0, cov{V
n
, V
n
} = I, cov{V
n
, V
m
} = O, n 6= m,
причем cov{V
n
, X(0)} = O, I и O обозначают единичную и нулевую
матрицы, соответственно, а матрицы α ∈ R
p×p
, β ∈ R
p×q
и вектор
γ ∈ R
p
— детерминированные. Найти уравнения, которым удовлетво-
ряют функции m
X
(n) := M{X(n)} и D
X
(n) := cov{X(n), X(n)}. До-
казать, что если все собственные значения λ матрицы α удовле-
творяют условию |λ| < 1, то с уществуют пределы µ := lim
n→∞
m
X
(n) и
∆ := lim
n→∞
D
X
(n), причем µ, ∆ суть единственные решения уравнений
µ = αµ + γ и ∆ = α∆α
∗
+ ββ
∗
.
О т в е т. m
X
(n) = αm
X
(n −1) + γ, D
X
(n) = αD
X
(n −1)α
∗
+ ββ
∗
.
З А Н Я Т И Е 3
НЕПРЕРЫВНОСТЬ И
ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬ СЛУЧАЙНЫХ
ФУНКЦИЙ
П р и м е р 3.1. Предположим, что ξ(t) — вырожденный случайный
процесс, определенный на промежутке T действительной оси, т. е.
ξ(t) := ϕ
1
(t)X
1
+ . . . + ϕ
k
(t)X
k
, где ϕ
j
(t) — некоторые детерминиро-
ванные функции, а X
j
— вещественные случайные величины.
При каких условиях на ϕ
j
(t) и X
j
случайная функция ξ(t) будет:
а) н епрерывной; б) дифференцируемой; в) с.к.-непрерывной; г) с.к.-
дифференцируемой? Найти производную ξ
′
(t) и с.к.-производную
˙
ξ(t)
в том случае, если они существует.
П р и м е р 3.2. Случайная функция ξ(t) определена на T := [0, 1]
следующим образом:
ξ(t) =
(
V
1
, если t < ρ,
V
2
, если t > ρ,
гд е ρ, V
1
и V
2
— независимые в совокупности случайные величины,
такие что ρ ∼ R(0, 1), V
i
∼ N(0, 1).
Доказать, что функция ξ(t) с.к.-непрерывна на T , хотя почти все
ее реализации разрывны. Существует ли непрерывная модификация?
П р и м е р 3.3. Доказать, что процесс дробного броуновского дви-
жения, т. е. гауссовский случайный процесс {X(t), t > 0} с нулевым
средним и ковариационной функцией R
X
(t, s) =
1
2
t
γ
+ s
γ
− |t − s|
γ
,
гд е γ ∈ (0, 2), стохастически эквивалентен некоторой непрерывной
случайной функции.
П р и м е р 3.4. При каких значениях параметров α, β (таких что
0 < α 6 β) центрированный случайный процесс {X(t), t ∈ R} с кова-
12        МОМЕНТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ                  [З. 2
                                                                                                        ЗАНЯТИЕ 3
   8. Пусть p-мерный случайный процесс {X(n), n = 0, 1, . . . } задан
уравнением авторегрессии 1-го порядка X(n) = αX(n − 1) + β Vn + γ,
n > 1, где {Vn } — q-мерный стандартный дискретный белый шум, т. е.                                НЕПРЕРЫВНОСТЬ И
     M{Vn } = 0,   cov{Vn , Vn } = I,   cov{Vn , Vm } = O,    n 6= m,               ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬ СЛУЧАЙНЫХ
причем cov{Vn , X(0)} = O, I и O обозначают единичную и нулевую                                             ФУНКЦИЙ
матрицы, соответственно, а матрицы α ∈ Rp×p , β ∈ Rp×q и вектор
γ ∈ Rp — детерминированные. Найти уравнения, которым удовлетво-
ряют функции mX (n) := M{X(n)} и DX (n) := cov{X(n), X(n)}. До-
казать, что если все собственные значения λ матрицы α удовле-
творяют условию |λ| < 1, то существуют пределы µ := lim mX (n) и
                                                             n→∞
∆ := lim DX (n), причем µ, ∆ суть единственные решения уравнений
     n→∞
µ = αµ + γ и ∆ = α∆α∗ + ββ ∗ .                                                      П р и м е р 3.1. Предположим, что ξ(t) — вырожденный случайный
   О т в е т. mX (n) = α mX (n − 1) + γ, DX (n) = αDX (n − 1)α∗ + ββ ∗.         процесс, определенный на промежутке T действительной оси, т. е.
                                                                                ξ(t) := ϕ1 (t)X1 + . . . + ϕk (t)Xk , где ϕj (t) — некоторые детерминиро-
                                                                                ванные функции, а Xj — вещественные случайные величины.
                                                                                    При каких условиях на ϕj (t) и Xj случайная функция ξ(t) будет:
                                                                                а) непрерывной; б) дифференцируемой; в) с.к.-непрерывной; г) с.к.-
                                                                                дифференцируемой? Найти производную ξ ′ (t) и с.к.-производную ξ(t)   ˙
                                                                                в том случае, если они существует.
                                                                                    П р и м е р 3.2. Случайная функция ξ(t) определена на T := [0, 1]
                                                                                следующим образом:
                                                                                                                 (
                                                                                                                   V1 , если t < ρ,
                                                                                                          ξ(t) =
                                                                                                                   V2 , если t > ρ,
                                                                                где ρ, V1 и V2 — независимые в совокупности случайные величины,
                                                                                такие что ρ ∼ R(0, 1), Vi ∼ N (0, 1).
                                                                                    Доказать, что функция ξ(t) с.к.-непрерывна на T , хотя почти все
                                                                                ее реализации разрывны. Существует ли непрерывная модификация?
                                                                                    П р и м е р 3.3. Доказать, что процесс дробного броуновского дви-
                                                                                жения, т. е. гауссовский случайный процесс {X(t), t > 0} с нулевым
                                                                                                                                  1                
                                                                                средним и ковариационной функцией RX (t, s) = tγ + sγ − |t − s|γ ,
                                                                                                                                  2
                                                                                где γ ∈ (0, 2), стохастически эквивалентен некоторой непрерывной
                                                                                случайной функции.
                                                                                    П р и м е р 3.4. При каких значениях параметров α, β (таких что
                                                                                0 < α 6 β) центрированный случайный процесс {X(t), t ∈ R} с кова-

Страницы