ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
10 МОМЕНТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ [З. 2
П р и м е р 2.4. Найти m
Z
(t), D
Z
(t) и R
Z
(t, s), если {Z(t), t ∈ R}—
компл ексная случайная функция, определенная соотношением Z(t) =
= Ae
itV
, гд е A ∼ N(0, 1) и V ∼ C(1) — независимые величины.
П р и м е р 2.5. Гауссовская случайная функция {w(t), t > 0}
с m
w
≡ 0 и R
w
(t, s) = min(t, s), называется процессом броуновского
движения. Определить распределение приращений процесса броунов-
ского движения.
П р и м е р 2.6. Являются ли C(t, s) = ch(t + s) и K(t, s) = ch(t − s)
(где ch τ := (e
τ
+ e
−τ
)/2) ковариационными функц иями некоторых
случайных процессов, определенных на всей числовой прямой?
Задачи для самостоятельного решения
1. Доказать, что дискретный белый шум с положительной диспер-
сией не может быть вырожденным процессом.
У к а з а н и е. Для белого шума и вырожденного процесса сравнить
ранги ковариационных матриц n-мерного закона распределения (при
достаточно большом n).
2. В условиях задачи 2.3: а) определить явное представление про-
цесса X через последовательность {V
n
}; б) найти m
X
(n), D
X
(n) и
R
X
(n, m), пользуясь результатом п. а); в) при каких значениях коэф-
фициента α существуют конечные пределы
µ := lim
n→∞
m
X
(n), ∆ := lim
n→∞
D
X
(n), ρ(k) := lim
n→∞
R
X
(n + k, n)
и не зависят от начальных значений m
X
(0), D
X
(0)?
У к а з а н и е. Воспользоваться формулой x
n
= a
n
x
0
+
n
X
k=1
a
n−k
y
k
,
дающей решение разностного уравнения x
n
= ax
n−1
+ y
n
.
О т в е т. a) X(n) = α
n
X(0) +
n
X
k=1
α
n−k
(β V
k
+ γ);
б) m
X
(n) =
(
α
n
m
X
(0) + γ (1 − α
n
)/(1 − α) при α 6= 1,
m
X
(0) + γ n при α = 1,
МОМЕНТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ 11
D
X
(n) =
(
α
2n
D
X
(0) + β
2
(1 − α
2n
)/(1 − α
2
) при α
2
6= 1,
D
X
(0) + β
2
n при α
2
= 1,
R
X
(n, m) = α
|n−m|
D
X
(min(n, m)), где 0
0
:= 1;
в) α ∈ (−1, 1), µ =
γ
1 − α
, ∆ =
β
2
1 − α
2
, ρ(k) = α
k
∆.
3. Пусть ξ — симметричное случайное блуждание, введенное в при-
мере 1.5. Определ ить m
ξ
(n), D
ξ
(n) и R
ξ
(n, m). Найденный ответ
сравнить с результатами, полученными в примере 2.3 и упражнении 2.
О т в е т. m
ξ
≡ 0, D
ξ
(n) = (∆x)
2
n, R
ξ
(n, m) = (∆x)
2
min(n, m).
4. Найти среднее и функцию вторых моментов процесса с одним
скачком (см. пример 1.3).
О т в е т. m
η
(t) = e
−t
, Γ
η
(t, s) = e
− max(t,s)
.
5. Определить ковариационную функцию процесса из примера 1.2.
О т в е т. R
ξ
(t, s) = 1 + ts.
6. Определим броуновский мост, как случайную функцию {B(t),
t ∈ [0, 1]}, такую что B(t) = w(t) − tw(1), где w(t) — процесс броунов-
ского движения. Найти дисперсию и ковариационную функцию про-
цесса B(t). При каких разли чных t, s из интервала (0, 1) сечения B(t),
B(s): а) независимы; б) линейно зависимы?
О т в е т. D
B
(t) = (1 − t)t; R
B
(t, s) = min(t, s) − ts; ни при каких.
7. Какие из ниже перечисленных функций являются ковариаци-
онными функциями некоторых случайных процессов:
а)
1, n = m,
0, n 6= m;
б)
1, n = m, m ± 1,
0 иначе ,
при n, m ∈ Z;
в) exp{t + s};
г) exp{|t + s|};
д) 1 + (ts)
2
;
е) 1 − (ts)
2
;
ж) cos(t + s);
з) cos(t − s),
и) exp{i(t + s)};
к) exp{i(t − s)},
при t, s ∈ R;
л) max (t, s);
м) 1 − max (t, s),
при t, s ∈ [0, 1];
н) exp{min(t, s)};
о) (1 + ts) exp{−|t −s|},
при t, s > 0?
О т в е т. а), в), д), з), к), м), н), о).
10 МОМЕНТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ [З. 2 МОМЕНТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ 11
(
П р и м е р 2.4. Найти mZ (t), DZ (t) и RZ (t, s), если {Z(t), t ∈ R} — α2n DX (0) + β 2 (1 − α2n )/(1 − α2 ) при α2 6= 1,
комплексная случайная функция, определенная соотношением Z(t) = DX (n) =
DX (0) + β 2 n при α2 = 1,
= A eitV , где A ∼ N (0, 1) и V ∼ C(1) — независимые величины.
П р и м е р 2.5. Гауссовская случайная функция {w(t), t > 0} RX (n, m) = α|n−m| DX (min(n, m)), где 00 := 1;
с mw ≡ 0 и Rw (t, s) = min(t, s), называется процессом броуновского γ β2
движения. Определить распределение приращений процесса броунов- в) α ∈ (−1, 1), µ= , ∆= , ρ(k) = αk ∆.
1−α 1 − α2
ского движения. 3. Пусть ξ — симметричное случайное блуждание, введенное в при-
П р и м е р 2.6. Являются ли C(t, s) = ch(t + s) и K(t, s) = ch(t − s) мере 1.5. Определить mξ (n), Dξ (n) и Rξ (n, m). Найденный ответ
(где ch τ := (eτ + e−τ )/2) ковариационными функциями некоторых сравнить с результатами, полученными в примере 2.3 и упражнении 2.
случайных процессов, определенных на всей числовой прямой? О т в е т. mξ ≡ 0, Dξ (n) = (∆x)2 n, Rξ (n, m) = (∆x)2 min(n, m).
4. Найти среднее и функцию вторых моментов процесса с одним
скачком (см. пример 1.3).
О т в е т. mη (t) = e−t , Γη (t, s) = e− max(t,s) .
Задачи для самостоятельного решения 5. Определить ковариационную функцию процесса из примера 1.2.
О т в е т. Rξ (t, s) = 1 + t s.
6. Определим броуновский мост, как случайную функцию {B(t),
t ∈ [0, 1]}, такую что B(t) = w(t) − t w(1), где w(t) — процесс броунов-
1. Доказать, что дискретный белый шум с положительной диспер-
ского движения. Найти дисперсию и ковариационную функцию про-
сией не может быть вырожденным процессом.
цесса B(t). При каких различных t, s из интервала (0, 1) сечения B(t),
У к а з а н и е. Для белого шума и вырожденного процесса сравнить
B(s): а) независимы; б) линейно зависимы?
ранги ковариационных матриц n-мерного закона распределения (при
О т в е т. DB (t) = (1 − t)t; RB (t, s) = min(t, s) − t s; ни при каких.
достаточно большом n).
7. Какие из ниже перечисленных функций являются ковариаци-
2. В условиях задачи 2.3: а) определить явное представление про-
онными функциями некоторых случайных процессов:
цесса X через последовательность {Vn }; б) найти mX (n), DX (n) и
RX (n, m), пользуясь результатом п. а); в) при каких значениях коэф-
1, n = m, з) cos(t − s),
фициента α существуют конечные пределы а)
0, n 6= m; и) exp{i(t + s)};
µ := lim mX (n), ∆ := lim DX (n), ρ(k) := lim RX (n + k, n) 1, n = m, m ± 1, к) exp{i(t − s)},
n→∞ n→∞ n→∞ б) при t, s ∈ R;
0 иначе,
при n, m ∈ Z; л) max (t, s);
и не зависят от начальных значений mX (0), DX (0)?
n
в) exp{t + s}; м) 1 − max (t, s),
У к а з а н и е. Воспользоваться формулой xn = an x0 + an−k yk ,
X
г) exp{|t + s|}; при t, s ∈ [0, 1];
дающей решение разностного уравнения xn = a xn−1 + yn . k=1 д) 1 + (ts)2 ; н) exp{min(t, s)};
n
n
О т в е т. a) X(n) = α X(0) + n−k е) 1 − (ts)2 ; о) (1 + t s) exp{−|t − s|},
X
α (β Vk + γ);
k=1 ж) cos(t + s); при t, s > 0?
(
αn mX (0) + γ (1 − αn )/(1 − α) при α 6= 1, О т в е т. а), в), д), з), к), м), н), о).
б) mX (n) =
mX (0) + γ n при α = 1,
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- …
- следующая ›
- последняя »
