ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
З А Н Я Т И Е 1
ВЕРОЯТНОСТНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ
П р и м е р 1.1. Пусть случайный процесс задан соотношением
ξ(t) = ϕ(t)U, t ∈ [0, 1],
где U — случайная величина с известной функцией распределе-
ния F
U
(x), а ϕ(t) — положительная детерминированная функция.
Найти семейство функций распределения процесса ξ. Имеет ли его
n-мерная функция распределения плотность?
П р и м е р 1.2. Пусть X и V — независимые случайные величины,
распределенные п о закону N(0, 1).
Для случайной функции ξ(t) = X + tV , t > 0:
а) описать ее траектории и сечения;
б) найти семейство конечномерных распределений;
в) вычислить вероятность события A = {ω: траектория ξ
ω
не
пересекает ось абсцисс}.
П р и м е р 1.3 (Процесс с одним скачком). Случайный процесс η за-
дан на [0, ∞) следующим образом: η
ω
(t) = 1, если t < τ (ω), и η
ω
(t) = 0
в противном случае, где τ ∼ E(1).
Требуется:
а) описать траектории и сечения данного процесса;
б) определить его одномерное и двумерное распределения;
в) выразить P{η(t) = 1 | η(s) = 1} при t > s через вероятности,
найденные в предыдущем пункте.
П р и м е р 1.4. Дана функция распределения F (x), x ∈ R.
Пользуясь теоремой Колмогорова, доказать существование слу-
чайной последовательности {ξ(n), n = 1, 2, . . .} с независимыми оди-
наково распределенными сечениями, такими что P{ξ(n) 6 x} = F (x)
ВЕРОЯТНОСТНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙ НЫХ ПРОЦЕССОВ 7
для любых n и x. Описать семейство конечномерных распределений
случайной последовательности {ξ(n)} с помощью k-мерных функций
распределения и характеристических функций.
П р и м е р 1.5 (Симметричное случайное блуждание). Положение
частицы в моменты времени t
n
:= n · ∆t, n = 0, 1, 2, . . ., является слу-
чайным и определяется значениями одной из координат x
m
:= m · ∆x,
m ∈ Z. Известно, что если x
m
— координата положения частицы в мо-
мент времени t
n
, то в следующий момент t
n+1
частица окажется
в одном из равновероятных положений: x
m+1
или x
m−1
, причем выбор
из двух возможностей происходит независимо от положения частицы
в предыдущие моменты времени.
Считая, что x
0
— координата начального положения частицы,
описать ее движение с помощью дискретного случайного процесса
ξ := {ξ(t), t ∈ T } с диск ретным временем T := {t
n
: n > 0}. Найти
одномерное распределение процесса ξ. Указать интервал (−a, a), в ко-
тором с вероятностью 0,95 содержится средняя скорость движения
υ := (ξ(t) −ξ(s))/(t − s) частицы на промежутке [s, t], где s, t ∈ T , а
число N := (t −s)/∆t достаточно велико. Насколько изменится иско-
мый ин тервал, если времен н´ой промежуток увеличить в сто раз?
Задачи для самостоятельного решения
1. Найти семейство функций распределения процесса ξ(t) = tX,
t > 0, если X ∼ R(0, 1). Вычислить вероятность P того, что траекто-
рия процесса пересечет отрезки [1, 3] и [1, 4] в моменты времени t = 3
и t = 5, соответственно.
О т в е т. F
ξ
(x
1
, . . . , x
n
; t
1
, . . . , t
n
) = F
min
x
1
/t
1
, . . . , x
n
/t
n
, где
F (x) = x при x ∈ [0, 1], F (x) = 0 для x < 0 и F (x) = 1, если x > 1;
P = 7/15 ≈ 0,4667.
2. Пусть в примере 1.2 X и V имеют плотности распределения
p
X
(x) и p
V
(v). Найти двумерную плотность распределения процес-
са ξ(t). Показать, что распределения порядка k > 3 плотности не
имеют.
У к а з а н и е. Воспользоваться формулой преобразования плотно-
сти при невырожденном преобразовании случайного вектора. Пока-
зать, что совместное распределение величин {ξ(t
1
), . . . , ξ(t
k
)} при
ВЕРОЯТНОСТНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ 7
ЗАНЯТИЕ 1
для любых n и x. Описать семейство конечномерных распределений
случайной последовательности {ξ(n)} с помощью k-мерных функций
ВЕРОЯТНОСТНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ распределения и характеристических функций.
СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ П р и м е р 1.5 (Симметричное случайное блуждание). Положение
частицы в моменты времени tn := n · ∆t, n = 0, 1, 2, . . ., является слу-
чайным и определяется значениями одной из координат xm := m · ∆x,
m ∈ Z. Известно, что если xm — координата положения частицы в мо-
мент времени tn , то в следующий момент tn+1 частица окажется
в одном из равновероятных положений: xm+1 или xm−1 , причем выбор
из двух возможностей происходит независимо от положения частицы
в предыдущие моменты времени.
П р и м е р 1.1. Пусть случайный процесс задан соотношением Считая, что x0 — координата начального положения частицы,
описать ее движение с помощью дискретного случайного процесса
ξ(t) = ϕ(t)U, t ∈ [0, 1], ξ := {ξ(t), t ∈ T } с дискретным временем T := {tn : n > 0}. Найти
одномерное распределение процесса ξ. Указать интервал (−a, a), в ко-
где U — случайная величина с известной функцией распределе- тором с вероятностью 0,95 содержится средняя скорость движения
ния FU (x), а ϕ(t) — положительная детерминированная функция. υ := (ξ(t) − ξ(s))/(t − s) частицы на промежутке [s, t], где s, t ∈ T , а
Найти семейство функций распределения процесса ξ. Имеет ли его число N := (t − s)/∆t достаточно велико. Насколько изменится иско-
n-мерная функция распределения плотность? мый интервал, если временно́й промежуток увеличить в сто раз?
П р и м е р 1.2. Пусть X и V — независимые случайные величины,
распределенные по закону N (0, 1).
Для случайной функции ξ(t) = X + t V , t > 0:
а) описать ее траектории и сечения; Задачи для самостоятельного решения
б) найти семейство конечномерных распределений;
в) вычислить вероятность события A = {ω: траектория ξω не
пересекает ось абсцисс}. 1. Найти семейство функций распределения процесса ξ(t) = t X,
t > 0, если X ∼ R(0, 1). Вычислить вероятность P того, что траекто-
П р и м е р 1.3 (Процесс с одним скачком). Случайный процесс η за- рия процесса пересечет отрезки [1, 3] и [1, 4] в моменты времени t = 3
дан на [0, ∞) следующим образом: ηω (t) = 1, если t < τ (ω), и ηω (t) = 0 и t = 5, соответственно.
в противном случае, где τ ∼ E(1). О т в е т. Fξ (x1 , . . . , xn ; t1 , . . . , tn ) = F min x1/t1 , . . . , xn/tn , где
Требуется: F (x) = x при x ∈ [0, 1], F (x) = 0 для x < 0 и F (x) = 1, если x > 1;
а) описать траектории и сечения данного процесса; P = 7/15 ≈ 0,4667.
б) определить его одномерное и двумерное распределения;
2. Пусть в примере 1.2 X и V имеют плотности распределения
в) выразить P{η(t) = 1 | η(s) = 1} при t > s через вероятности,
p X (x) и p V (v). Найти двумерную плотность распределения процес-
найденные в предыдущем пункте.
са ξ(t). Показать, что распределения порядка k > 3 плотности не
П р и м е р 1.4. Дана функция распределения F (x), x ∈ R. имеют.
Пользуясь теоремой Колмогорова, доказать существование слу- У к а з а н и е. Воспользоваться формулой преобразования плотно-
чайной последовательности {ξ(n), n = 1, 2, . . .} с независимыми оди- сти при невырожденном преобразовании случайного вектора. Пока-
наково распределенными сечениями, такими что P{ξ(n) 6 x} = F (x) зать, что совместное распределение величин {ξ(t1 ), . . . , ξ(tk )} при
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- …
- следующая ›
- последняя »
