ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Список основных сокращений и обозначений . . . . . . . . . . . . . . 4
З а н я т и е 1. Вероятностные распределения случайных про-
цессов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
З а н я т и е 2. Моментные характеристики случай ных процес-
сов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
З а н я т и е 3. Непрерывность и дифференцируемость случай-
ных функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
З а н я т и е 4. Интегрирование случайных функций . . . . . 16
З а н я т и е 5. Процессы с ортогональными приращениями 19
З а н я т и е 6. Винеровский процесс . . . . . . . . . . . . . . . 23
З а н я т и е 7. Элементы стохастического дифференциального
исчисления Ито . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
З а н я т и е 8. Стационарные случайные процессы . . . . . . 29
З а н я т и е 9. Линейные преобразования стационарных про-
цессов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
З а н я т и е 10. Потоки событий. Пуассоновский процесс . . 37
З а н я т и е 11. Марковские процессы . . . . . . . . . . . . . . 41
З а н я т и е 12. Цепи Маркова . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
З а н я т и е 13. Дискретные марковские функции . . . . . . 48
Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
ПРЕДИСЛОВИЕ
Данное учебное пособие предназначено для методического обес-
печения практических занятий и самостоятельной работы студентов
в рамках курса «теория случайных процессов», изучаемого на фа-
культете прикладной математики и физики МАИ в объеме 32 часов
лекций и 32 часов практических занятий.
Пособие состоит из тринадцати разделов (занятий). Первое за-
нятие является вводным и посвящено основным понятиям теории
случайных процессов (вероятностные распределения и способы их
описания). Следующие три занятия составляют основу корреляци-
онного анализа случайных функций (моментные характеристики,
свойства процессов в среднем квадратичном). Разделы с пятого по
седьмой предназначены для изучения основ теории стохастических
дифференциальных уравнений и связанных с ними понятий (белый
шум, процессы с ортогональными приращениями, винеровский про-
цесс, стохастический интеграл и дифференциал Ито). Следующие два
занятия посвящены стационарным случайным последовательностям
и функциям (моментные и спектральные характеристики, стацио-
нарные линейные преобразования). В десятом занятии рассмотрены
потоки событий и пуассоновский процесс. Последние три раздела це-
ликом посвящены марковским процессам (модели марковских п осле-
довательностей и функций, цепи Маркова, элементы теории массового
обслуживания).
Каждый раздел содержит формулировки примеров, изучаемых
в течение занятия, и перечень задач для самостоятельного решения
с ответами и указаниями.
При подготовке материала пособия авторы пользовались следую-
щими источниками: [1–6,9–11, 13–18] (теория вероятностей и случай-
ные процессы), [8,12] (функциональный анализ).
СОДЕРЖАНИЕ ПРЕДИСЛОВИЕ
Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Данное учебное пособие предназначено для методического обес-
Список основных сокращений и обозначений . . . . . . . . . . . . . . 4 печения практических занятий и самостоятельной работы студентов
З а н я т и е 1. Вероятностные распределения случайных про- в рамках курса «теория случайных процессов», изучаемого на фа-
цессов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 культете прикладной математики и физики МАИ в объеме 32 часов
лекций и 32 часов практических занятий.
З а н я т и е 2. Моментные характеристики случайных процес- Пособие состоит из тринадцати разделов (занятий). Первое за-
сов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 нятие является вводным и посвящено основным понятиям теории
случайных процессов (вероятностные распределения и способы их
З а н я т и е 3. Непрерывность и дифференцируемость случай-
ных функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
описания). Следующие три занятия составляют основу корреляци-
онного анализа случайных функций (моментные характеристики,
З а н я т и е 4. Интегрирование случайных функций . . . . . 16 свойства процессов в среднем квадратичном). Разделы с пятого по
седьмой предназначены для изучения основ теории стохастических
З а н я т и е 5. Процессы с ортогональными приращениями 19 дифференциальных уравнений и связанных с ними понятий (белый
шум, процессы с ортогональными приращениями, винеровский про-
З а н я т и е 6. Винеровский процесс . . . . . . . . . . . . . . . 23
цесс, стохастический интеграл и дифференциал Ито). Следующие два
З а н я т и е 7. Элементы стохастического дифференциального занятия посвящены стационарным случайным последовательностям
исчисления Ито . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 и функциям (моментные и спектральные характеристики, стацио-
нарные линейные преобразования). В десятом занятии рассмотрены
З а н я т и е 8. Стационарные случайные процессы . . . . . . 29 потоки событий и пуассоновский процесс. Последние три раздела це-
ликом посвящены марковским процессам (модели марковских после-
З а н я т и е 9. Линейные преобразования стационарных про- довательностей и функций, цепи Маркова, элементы теории массового
цессов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
обслуживания).
З а н я т и е 10. Потоки событий. Пуассоновский процесс . . 37 Каждый раздел содержит формулировки примеров, изучаемых
в течение занятия, и перечень задач для самостоятельного решения
З а н я т и е 11. Марковские процессы . . . . . . . . . . . . . . 41 с ответами и указаниями.
При подготовке материала пособия авторы пользовались следую-
З а н я т и е 12. Цепи Маркова . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 щими источниками: [1–6, 9–11, 13–18] (теория вероятностей и случай-
З а н я т и е 13. Дискретные марковские функции . . . . . . 48 ные процессы), [8, 12] (функциональный анализ).
Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
