Практикум по теории случайных процессов (сокращенный вариант). Панков А.Р - 5 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МАИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

8 ВЕРОЯТНОСТНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ [З. 1
k > 3 сосредоточено на некотором линейном подпространстве размер-
ности 2.
О т в е т. p
ξ
(x
1
, x
2
; t
1
, t
2
) =
1
t
2
− t
1
p
X
x
2
− x
1
t
2
− t
1
p
V
x
1
−
x
2
− x
1
t
2
− t
1
для моментов t
2
> t
1
.
3. Пусть ξ(t) = Xt
2
+ Y t, t > 0, где X, Y — независимые случай-
ные величины с распределением N(0, 1). Найти вероятности событий:
A = {ω : ξ
ω
— неубывающая функция}; B = {ω : inf
t>0
ξ
ω
(t) < 0}.
У к а з а н и е. A = {X > 0, Y > 0}; B = {X > 0, Y < 0}∪{X < 0}.
О т в е т. P{A} = 1/4; P{B} = 3/4.
4. Определить характеристические функции для одномерного
и двумерного распределений случайного процесса, рассмотренного
в примере 1.5.
О т в е т. Ψ
ξ
(z; t) = (cos(z ·∆x))
t/∆t
при t ∈ T и Ψ
ξ
(z
1
, z
2
; t, s) =
= (cos(z
1
· ∆x))
(t−s)/∆t
·
cos
(z
1
+ z
2
) · ∆x

s/∆t
при t > s из T .
5. Случайная функция η задана на [0, ∞) следующим образом:
η
ω
(t) =
0, t < σ(ω),
1, 0 6 t − σ(ω) < τ(ω),
2, t > σ(ω) + τ(ω),
где σ, τ — случайные величины, независимые и распределенные по
экспоненциальному закону с параметром λ > 0. Описать одномерное
распределение процесса η.
О т в е т. π
0
(t) = e
−λt
, π
1
(t) = λte
−λt
, π
2
(t) = 1 − (1 + λt)e
−λt
, где
π
x
(t) := P{η(t) = x}.
З А Н Я Т И Е 2
МОМЕНТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ
П р и м е р 2.1 (Вырожденный случайный процесс). Предположим,
что ξ(t) := ϕ
0
(t) +
k
X
j=1
ϕ
j
(t)X
j
, t ∈ T , где ϕ
j
(t) — заданные скалярные
детерминированные функции, а X
j
— некоррелированные случайные
величины с нулевым средним и единичной дисперсией.
Найти m
ξ
(t), D
ξ
(t), R
ξ
(t, s), Γ
ξ
(t, s).
П р и м е р 2.2. Допустим, что напряжение в электросети представ-
ляет собой гауссовский случайный процесс {U(t), t > 0} со средним
m
U
(t) ≡ U
0
и ковариационной функцией R
U
(t, s) = (∆U )
2
cos(λ(t − s)),
где U
0
:= 220 В, ∆U := 10 В, λ := 2π ·50 с
−1
. По данным измерений
напряжение в начальный момент составило 212 В.
Что можно сказать о значении U (t) при t = 0,01; 0,1; 10 с?
П р и м е р 2.3. Последовательность V := {V
n
} некоррелированных
случайных величин c нулевым средним и конечной дисперсией
D V
n
6= 0 называют дискретным белым шумом. Если к тому же
D V
n
= 1 при любом n, то V — стандартный белый шум.
Рассмотрим процесс авторегрессии первого порядка, т. е. сл уч ай-
ную последовательность {X(n), n = 0, 1, 2, . . . }, удовлетворяющую
следующему рекуррентному ур авнению:
X(n) = αX(n − 1) + β V
n
+ γ, n = 1, 2, . . . , (2.1)
где α, β, γ — известные вещественные коэффициенты, {V
n
}— стан-
дартный дискретный белый ш ум, некоррелированный с X(0).
Найти рекуррентные уравнения, которым удовлетворяют функции
математического ожидания и дисперсии процесса X.
8         ВЕРОЯТНОСТНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ                   [З. 1
                                                                                                                  ЗАНЯТИЕ 2
k > 3 сосредоточено на некотором линейном подпространстве размер-
ности 2.                                   1
                                                    
                                                      x2 − x1
                                                               
                                                                        x − x1
                                                                                
   О т в е т. p ξ(x1 , x2 ; t1 , t2 ) =          pX            p V x1 − 2                    МОМЕНТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
                                        t2 − t 1      t2 − t1           t2 − t1
для моментов t2 > t1 .
   3. Пусть ξ(t) = Xt2 + Y t, t > 0, где X, Y — независимые случай-                                СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ
ные величины с распределением N (0, 1). Найти вероятности событий:
A = {ω : ξω — неубывающая функция}; B = {ω : inf ξω (t) < 0}.
                                                         t>0
    У к а з а н и е. A = {X > 0, Y > 0}; B = {X > 0, Y < 0}∪{X < 0}.
    О т в е т. P{A} = 1/4; P{B} = 3/4.
   4. Определить характеристические функции для одномерного
и двумерного распределений случайного процесса, рассмотренного
в примере 1.5.                                                                         П р и м е р 2.1 (Вырожденный случайный процесс). Предположим,
                                        t/∆t                                                               k
   О т в е т. Ψξ (z; t) = (cos(z · ∆x))       при t ∈ T и Ψξ (z1 , z2 ; t, s) =     что ξ(t) := ϕ0 (t) +
                                                                                                           X
                                                                                                                 ϕj (t)Xj , t ∈ T , где ϕj (t) — заданные скалярные
                 (t−s)/∆t                       s/∆t
= (cos(z1 · ∆x))          · cos (z1 + z2 ) · ∆x        при t > s из T .                                    j=1
                                                                                    детерминированные функции, а Xj — некоррелированные случайные
    5. Случайная функция η задана на [0, ∞) следующим образом:                      величины с нулевым средним и единичной дисперсией.
                                                                                      Найти mξ (t), Dξ (t), Rξ (t, s), Γξ (t, s).
                            0,     t < σ(ω),
                                                                                       П р и м е р 2.2. Допустим, что напряжение в электросети представ-
                    ηω (t) = 1,     0 6 t − σ(ω) < τ (ω),
                                                                                   ляет собой гауссовский случайный процесс {U (t), t > 0} со средним
                             2,     t > σ(ω) + τ (ω),                               m U (t) ≡ U0 и ковариационной функцией R U (t, s) = (∆U )2 cos(λ(t − s)),
                                                                                    где U0 := 220 В, ∆U := 10 В, λ := 2π · 50 с−1 . По данным измерений
где σ, τ — случайные величины, независимые и распределенные по                      напряжение в начальный момент составило 212 В.
экспоненциальному закону с параметром λ > 0. Описать одномерное
                                                                                       Что можно сказать о значении U (t) при t = 0,01; 0,1; 10 с?
распределение процесса η.
    О т в е т. π0 (t) = e−λt , π1 (t) = λte−λt , π2 (t) = 1 − (1 + λt)e−λt , где       П р и м е р 2.3. Последовательность V := {Vn } некоррелированных
πx (t) := P{η(t) = x}.                                                              случайных величин c нулевым средним и конечной дисперсией
                                                                                    DVn 6= 0 называют дискретным белым шумом. Если к тому же
                                                                                    DVn = 1 при любом n, то V — стандартный белый шум.
                                                                                       Рассмотрим процесс авторегрессии первого порядка, т. е. случай-
                                                                                    ную последовательность {X(n), n = 0, 1, 2, . . . }, удовлетворяющую
                                                                                    следующему рекуррентному уравнению:

                                                                                                 X(n) = αX(n − 1) + β Vn + γ,           n = 1, 2, . . . ,     (2.1)

                                                                                    где α, β, γ — известные вещественные коэффициенты, {Vn } — стан-
                                                                                    дартный дискретный белый шум, некоррелированный с X(0).
                                                                                       Найти рекуррентные уравнения, которым удовлетворяют функции
                                                                                    математического ожидания и дисперсии процесса X.

Страницы