ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
22 ПРОЦЕССЫ С ОРТОГОНАЛЬНЫМИ ПРИРАЩЕНИЯМИ [З. 5
О т в е т. DX =
t
Z
0
|f(τ)|
2
dτ, DY =
t
Z
0
|G(t, τ)|
2
dτ и cov{X, Y } =
=
t
Z
0
f(τ)
G(t, τ) dτ, где G(t, τ) :=
t
Z
τ
g(s) ds.
9. В ус ловиях задачи 8 записать f(t)ξ(t) +
t
Z
0
g(τ) ξ(τ) dτ в виде
стохастического интеграла.
О т в е т.
t
Z
0
H(t, τ) dξ(τ), где H(t, τ ) := f(t) +
t
Z
τ
g(s) ds.
10. Определить одномерное распределение случайной функции
η(t) := sin t w(t) −
t
Z
0
cos τ w(τ)dτ, t > 0, если w(t) — процесс броунов-
ского движения.
О т в е т. N
0,
t
2
−
sin 2t
4
.
11. Найти ковариационную функцию R
X
(t, s) случайного процесса
X(t) := 2tξ(t) −
t
Z
0
ξ(τ)dτ, t > 0, если ξ(τ ) — процесс с ортогональными
приращениями, такой что D
ξ
(τ) = 6τ.
О т в е т. R
X
(t, s) = 9a
2
b + 5a
3
, где a := min(t, s), b := max(t, s).
12. Пусть гильбертов процесс {X(t), t > 0} удовлетворяет уравне-
нию
˙
X(t) + αX(t) = βV (t) с постоянными коэффициентами α > 0 и β
и нулевым начальным условием, где V (t) — стандартный белый шум и
W (t) — соответствующий процесс с ортогональными приращениями.
Требуется: а) найти κ(τ) := lim
t→+∞
cov{X(t), W (t −τ)}, если τ > 0;
б) доказать, что процессы {X(s), s 6 t}, {V (u), u > t} некоррелиро-
ваны; в) проверить cov{X(t), W (u)} = cov{X(t), W (t)} при u > t.
О т в е т. κ (τ ) = e
−ατ
/α.
13. Доказать, что если процесс B := {B(t), t ∈ [0, 1]} удовлетво-
ряет уравнению
˙
B(t) = −B(t)/(1 − t) + ˙w(t) на (0, 1) с броуновским
движением w(t) и краевыми условиями B(0) = B(1) = 0, то B — бро-
уновский мост (см. упражнение 6 из занятия 2).
У к а з а н и е. Получить представление B(t) =
t
Z
0
1 − t
1 − τ
dw(τ), прове-
рить гауссовость процесса B, найти R
B
(t, s).
З А Н Я Т И Е 6
ВИНЕРОВСКИЙ ПРОЦЕСС
П р и м е р 6.1. Построить наилучшую в среднем квадратичном
оценку ˆw(t) сечения w(t) стандартного винеровского процесса по двум
наблюдениям w(s) и w(u), где 0 < s < t < u. Определить среднек вад-
ратичную погрешность ∆(t) := M ( ˆw(t) −w(t))
2
.
П р и м е р 6.2. Определить распределение момента τ
x
первого до-
стижения уровня x > 0 траекторией винеровского процесса. Выяс-
нить, любой ли уровень x будет преодолен. Если да, то сколько
в среднем придется ожидать наступления этого события?
П р и м е р 6.3. Пусть {e
k
(t)}
∞
k=1
— ортонормированный базис гиль-
бертова пространства L
2
[0, 1] вещественных функций, квадратично-
интегрируемых на отрезке [0, 1], а {V
k
}— последовательность незави-
симых случайных величин, распределенных по закону N(0, σ
2
).
Доказать, что случайная функция
ξ(t) :=
∞
X
k=1
V
k
t
Z
0
e
k
(τ) dτ, t ∈ [0, 1], (6.1)
эквивалентна на [0, 1] винеровскому процессу, причем ряд в (6.1)
сходится в среднем квадратичном.
П р и м е р 6.4. Доказать, что процесс Орнштейна—Уленбека, опре-
деляемый выражением X(t) := e
−α t
w(e
2 α t
) при t > 0 (где w(t) — ви-
неровский процесс, а α — положительная константа), удовлетворяет
линейному стохастическому дифференциальному уравнению:
˙
X(t) + αX(t) = V (t), t > 0, (6.2)
с гауссовским белым шумом V (t). Какова интенсивность этого белого
шума? Как связаны процессы V (t) и w(t)?
22 ПРОЦЕССЫ С ОРТОГОНАЛЬНЫМИ ПРИРАЩЕНИЯМИ [З. 5
ЗАНЯТИЕ 6
Zt Zt
О т в е т. DX = |f (τ )|2 dτ , DY = |G(t, τ )|2 dτ и cov{X, Y } =
Zt 0 Zt 0 ВИНЕРОВСКИЙ ПРОЦЕСС
= f (τ )G(t, τ ) dτ , где G(t, τ ) := g(s) ds.
0 τ Zt
9. В условиях задачи 8 записать f (t)ξ(t) + g(τ ) ξ(τ ) dτ в виде
стохастического интеграла. 0
Zt Zt
О т в е т. H(t, τ ) dξ(τ ), где H(t, τ ) := f (t) + g(s) ds.
0 τ П р и м е р 6.1. Построить наилучшую в среднем квадратичном
10. Определить одномерное распределение случайной функции оценку ŵ(t) сечения w(t) стандартного винеровского процесса по двум
Zt наблюдениям w(s) и w(u), где 0 < s < t < u. Определить среднеквад-
η(t) := sin t w(t) − cos τ w(τ )dτ , t > 0, если w(t) — процесс броунов- ратичную погрешность ∆(t) := M(ŵ(t) − w(t))2 .
ского движения.
0
П р и м е р 6.2. Определить распределение момента τx первого до-
t sin 2t стижения уровня x > 0 траекторией винеровского процесса. Выяс-
О т в е т. N 0, − .
2 4 нить, любой ли уровень x будет преодолен. Если да, то сколько
11. Найти ковариационную функцию RX (t, s) случайного процесса в среднем придется ожидать наступления этого события?
Zt
П р и м е р 6.3. Пусть {ek (t)}∞
k=1 — ортонормированный базис гиль-
X(t) := 2t ξ(t) − ξ(τ )dτ , t > 0, если ξ(τ ) — процесс с ортогональными
бертова пространства L2 [0, 1] вещественных функций, квадратично-
0 интегрируемых на отрезке [0, 1], а {Vk } — последовательность незави-
приращениями, такой что Dξ (τ ) = 6τ . симых случайных величин, распределенных по закону N (0, σ 2 ).
О т в е т. RX (t, s) = 9a2 b + 5a3 , где a := min(t, s), b := max(t, s). Доказать, что случайная функция
12. Пусть гильбертов процесс {X(t), t > 0} удовлетворяет уравне-
нию Ẋ(t) + αX(t) = βV (t) с постоянными коэффициентами α > 0 и β ∞ Zt
t ∈ [0, 1], (6.1)
X
и нулевым начальным условием, где V (t) — стандартный белый шум и ξ(t) := Vk ek (τ ) dτ,
W (t) — соответствующий процесс с ортогональными приращениями. k=1 0
Требуется: а) найти κ(τ ) := lim cov{X(t), W (t − τ )}, если τ > 0;
t→+∞ эквивалентна на [0, 1] винеровскому процессу, причем ряд в (6.1)
б) доказать, что процессы {X(s), s 6 t}, {V (u), u > t} некоррелиро- сходится в среднем квадратичном.
ваны; в) проверить cov{X(t), W (u)} = cov{X(t), W (t)} при u > t.
О т в е т. κ(τ ) = e−ατ/α. П р и м е р 6.4. Доказать, что процесс Орнштейна—Уленбека, опре-
деляемый выражением X(t) := e−α t w(e2 α t ) при t > 0 (где w(t) — ви-
13. Доказать, что если процесс B := {B(t), t ∈ [0, 1]} удовлетво-
неровский процесс, а α — положительная константа), удовлетворяет
ряет уравнению Ḃ(t) = −B(t)/(1 − t) + ẇ(t) на (0, 1) с броуновским линейному стохастическому дифференциальному уравнению:
движением w(t) и краевыми условиями B(0) = B(1) = 0, то B — бро-
уновский мост (см. упражнение 6 из занятия 2). Zt Ẋ(t) + α X(t) = V (t), t > 0, (6.2)
1−t
У к а з а н и е. Получить представление B(t) = dw(τ ), прове-
1−τ с гауссовским белым шумом V (t). Какова интенсивность этого белого
рить гауссовость процесса B, найти RB (t, s). 0
шума? Как связаны процессы V (t) и w(t)?
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 10
- 11
- 12
- 13
- 14
- …
- следующая ›
- последняя »
