Практикум по теории случайных процессов (сокращенный вариант). Панков А.Р - 15 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МАИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

28 ЭЛЕМЕНТЫ СТОХАСТИЧЕСКОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ ИТО [З. 7
следующего уравнения: dξ(t) = cos ξ(t)dt + cos ξ(t)dw(t).
О т в е т. dη(t) = (1 − η
2
(t))(1 − η(t)/2) dt + (1 − η
2
(t)) dw(t).
9. Пусть процесс X(t) допускает стохастический дифференциал
с коэффициентом диффузии β(t). Выразить стохастический интеграл
Y (t) :=
t
Z
0
X(s)dX(s) через сечения X(t), X(0) и функцию β(t). Срав-
нить полученное выражение с найденным в примере 7.1.
У к а з а н и е. Воспользоваться результатом примера 7.4.
О т в е т. Y (t) =
1
2
n
(X
2
(t) − X
2
(0)) −
t
Z
0
β
2
(s)ds
o
.
10. Доказать, что нелинейное стохастическое дифференциальное
уравнение dξ(t) = −arctg ξ(t) dt +
dw (t)
1 + ξ
2
(t)
, ξ(0) = 0, имеет решение и
притом единственное.
11. Пусть w
1
(t), w
2
(t) — независимые винеровские процессы. Су-
ществует ли J :=
1
Z
0
w
1
(t)dw
2
(t), как стохастический интеграл Ито?
О т в е т. Да, так как J =
1
Z
0
f(t)dw(t), где f(t) :=
0 w
1
(t)
∈ R
1×2
является с.к.-непрерывной функцией, неупреждающей относительно
двумерного винеровского процесса w(t) := col[w
1
(t), w
2
(t)].
12. Пусть ν(t) := ξ(t)
1 +
t
Z
0
ξ(τ)dτ
−1
, где ξ(t) — решение уравне-
ния Самуэльсона (см. пример 7.2). Найти стохастическое дифферен-
циальное уравнение, которому удовлетворяет процесс ν(t).
О т в е т. dν(t) = ν(t)[(a −ν(t))dt + σ dw(t)].
13. Пусть w(t) := col[w
1
(t), . . . , w
n
(t)] — с тандартный n-мерный ви-
неровский процесс. Найти стохастический дифференциал квадрата
его евклидовой нормы |w(t)|
2
:= w
2
1
(t) + . . . + w
2
n
(t).
О т в е т. d|w(t)|
2
= 2(w(t))
∗
dw(t) + ndt = 2
n
X
k=1
w
k
(t)dw
k
(t) + ndt.
З А Н Я Т И Е 8
СТАЦИОНАРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ
Далее рассматриваются комплексные случайные процессы {ξ(t),
t ∈ T }, определенные на временн´ой области T = Z или T = R.
П р и м е р 8.1. Центрированный стационарный случайный процесс
{V (t), t ∈ T } с ненулевой постоянной спектральной плотностью назы-
вается стационарным белым шумом. Найти ковариационную функ-
цию стационарного белого шума {V (t), t ∈ T } в случаях дискретного
и непрерывного времени. Проверить, что данное опред еление согла-
совано с определениями белого шума, данными ранее в терминах
временн´ой области (см. занятия 2 и 5).
П р и м е р 8.2 (Почти периодический процесс). Определим почти
периодический процесс {ξ(t), t ∈ T } как линейную комбинацию «гар-
монических сигналов»
ξ(t) :=
N
X
k=1
W
k
e
itλ
k
, t ∈ T, (8.1)
где «амплитуды» {W
k
} суть центрированные некоррелированные слу-
чайные величины с дисперсиями D W
k
= A
k
> 0, а «частоты» {λ
k
}—
фиксированные точки соответствующей спектральной области Λ.
Доказать, что ξ(t) — стационарный процесс. Найти ковариацион-
ную функцию r
ξ
(τ), спектральную меру S
ξ
(dλ) и ортогональную
стохастическую меру Z
ξ
(dλ).
П р и м е р 8.3. Рассмотрим «гармонический сигнал» U(n) := αe
inθ
,
n ∈ Z, случайной «амплитуды» α ∼ N(0, 1) и независящей от нее
случайной «частоты» θ ∼ R(−π, π).
Доказать, что U (n) — стационарная последовательность. Найти ее
ковариационную функцию r
U
(τ), спектральную плотность s
U
(λ) и
ортогональную стохастическую меру Z
U
(dλ).
28   ЭЛЕМЕНТЫ СТОХАСТИЧЕСКОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ ИТО              [З. 7
                                                                                                            ЗАНЯТИЕ 8
следующего уравнения: dξ(t) = cos ξ(t)dt + cos ξ(t)dw(t).
    О т в е т. dη(t) = (1 − η 2 (t))(1 − η(t)/2) dt + (1 − η 2 (t)) dw(t).
    9. Пусть процесс X(t) допускает стохастический дифференциал                      СТАЦИОНАРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ
с коэффициентом диффузии β(t). Выразить стохастический интеграл
         Zt
Y (t) := X(s)dX(s) через сечения X(t), X(0) и функцию β(t). Срав-
         0
нить полученное выражение с найденным в примере 7.1.
   У к а з а н и е. Воспользоваться результатом примера 7.4.
                        n                 Zt        o
                      1
   О т в е т. Y (t) =    (X (t) − X (0)) − β 2 (s)ds .
                           2       2
                                                                                        Далее рассматриваются комплексные случайные процессы {ξ(t),
                         2
                                            0                                       t ∈ T }, определенные на временно́й области T = Z или T = R.
     10. Доказать, что нелинейное стохастическое дифференциальное                      П р и м е р 8.1. Центрированный стационарный случайный процесс
                                        dw(t)
уравнение dξ(t) = − arctg ξ(t) dt +             , ξ(0) = 0, имеет решение и         {V (t), t ∈ T } с ненулевой постоянной спектральной плотностью назы-
                                    1 + ξ 2 (t)                                     вается стационарным белым шумом. Найти ковариационную функ-
притом единственное.
                                                                                    цию стационарного белого шума {V (t), t ∈ T } в случаях дискретного
   11. Пусть w1 (t), w2 (t) — независимые винеровские процессы. Су-
                                                                                    и непрерывного времени. Проверить, что данное определение согла-
                    Z1
                                                                                    совано с определениями белого шума, данными ранее в терминах
ществует ли J := w1 (t)dw2 (t), как стохастический интеграл Ито?
                                                                                    временно́й области (см. занятия 2 и 5).
                     0         Z1                                
     О т в е т. Да, так как J = f (t)dw(t), где f (t) := 0 w1 (t) ∈ R1×2               П р и м е р 8.2 (Почти периодический процесс). Определим почти
                                                                                    периодический процесс {ξ(t), t ∈ T } как линейную комбинацию «гар-
                                 0
является с.к.-непрерывной функцией, неупреждающей относительно                      монических сигналов»
двумерного винеровского процесса w(t) := col[w1 (t), w2 (t)].                                                      N
                            Zt       −1                                                                ξ(t) :=
                                                                                                                   X
                                                                                                                         Wk eitλk ,   t ∈ T,          (8.1)
   12. Пусть ν(t) := ξ(t) 1 + ξ(τ )dτ     , где ξ(t) — решение уравне-                                             k=1
                                 0
ния Самуэльсона (см. пример 7.2). Найти стохастическое дифферен-                    где «амплитуды» {Wk } суть центрированные некоррелированные слу-
циальное уравнение, которому удовлетворяет процесс ν(t).                            чайные величины с дисперсиями DWk = Ak > 0, а «частоты» {λk } —
   О т в е т. dν(t) = ν(t)[(a − ν(t))dt + σ dw(t)].                                 фиксированные точки соответствующей спектральной области Λ.
   13. Пусть w(t) := col[w1 (t), . . . , wn (t)] — стандартный n-мерный ви-            Доказать, что ξ(t) — стационарный процесс. Найти ковариацион-
неровский процесс. Найти стохастический дифференциал квадрата                       ную функцию rξ (τ ), спектральную меру Sξ (dλ) и ортогональную
его евклидовой нормы |w(t)|2 := w12 (t) + . . . + wn2 (t).                          стохастическую меру Zξ (dλ).
                                                      n
                                                                                       П р и м е р 8.3. Рассмотрим «гармонический сигнал» U (n) := α einθ ,
     О т в е т. d|w(t)|2 = 2(w(t))∗ dw(t) + ndt = 2
                                                      X
                                                            wk (t)dwk (t) + ndt.
                                                                                    n ∈ Z, случайной «амплитуды» α ∼ N (0, 1) и независящей от нее
                                                      k=1
                                                                                    случайной «частоты» θ ∼ R(−π, π).
                                                                                       Доказать, что U (n) — стационарная последовательность. Найти ее
                                                                                    ковариационную функцию rU (τ ), спектральную плотность sU (λ) и
                                                                                    ортогональную стохастическую меру ZU (dλ).

Страницы