ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
32 СТАЦИОНАРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ [З. 8
9. Доказать, что гауссовский процесс {ξ(t), t ∈ T }, стационарный
в широком смысле, является также стационарным в узком смысле,
т. е. для любых фиксированных моментов t
1
, . . . , t
n
∈ T конечномер-
ное распределение P
ξ
(t
1
+ h, . . . , t
n
+ h) не зависит от h ∈ T .
10. Найти спектральную плотность стационарной функции {ξ(t),
t ∈ R} с ковариационной функцией r
ξ
(τ) = e
−α|t|
cos λ
0
t, где α > 0.
О т в е т. s
ξ
(λ) =
α
2π
n
1
α
2
+ (λ + λ
0
)
2
+
1
α
2
+ (λ − λ
0
)
2
o
.
11. Стационарная функция η(t), t ∈ R имеет спектральную плот-
ность s
η
(λ) =
λ
2
(α − β) + α
2
(α + β)
π(λ
2
+ α
2
)
2
, где α > β > 0. Определить кова-
риационную функцию.
О т в е т. r
η
(τ) = (1 + β|t|)e
−α|t|
.
12. Является ли с.к.-дифференцируемой стационарная функция
со спектральной плотностью s
ξ
(λ) =
σ
2
α
π
·
2(α
2
− β
2
)
[(α − β)
2
+ λ
2
][(α + β)
2
+ λ
2
]
,
где α > β > 0?
У к а з а н и е. Если преобразование Фурье функции f(t), t ∈ R,
представляет собой квадратично интегрируемую (на всей прямой)
функцию, то существует и непрерывна вторая производная f
′′
(t).
О т в е т. Является.
З А Н Я Т И Е 9
ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
СТАЦИОНАРНЫХ ПРОЦЕССОВ
П р и м е р 9.1 (Модель авторегрессии первого порядка). Даны
стационарная последовательность ξ(n) и число a ∈ (−1, 1), a 6= 0.
Доказать, что уравнение авторегрессии первого порядка
η(n) = aη(n − 1) + bξ(n), n ∈ Z, (9.1)
имеет единственное решение η := {η(n), n ∈ Z}, которое представляет
собой стационарный процесс. Найти частотную характеристику и
весовую функцию преобразования (9.1). Получить представление η
через ξ в спектральной и временн´ой областях. Определить ковариаци-
онную функцию «выхода» η, если «входом» ξ является стандартный
белый шум.
П р и м е р 9.2. Даны стационарная функция ξ(t) и число α > 0.
Доказать, что линейное дифференциальное уравнение
˙η(t) = −α η(t) + β ξ(t), t ∈ R, (9.2)
имеет единственное стационарное решение η := {η(t), t ∈ R}. Найти
частотную характеристику и весовую функцию, соответствующие
данному линейному преобразованию. Получить явные формулы, свя-
зывающие «вход» ξ и «выход» η. Определить ковариационную функ-
цию процесса η(t), если ξ(t) — стандартный белый шум.
П р и м е р 9.3 (Закон больших чисел для стационарных последова-
тельностей). Пусть {ξ(n), n ∈ Z}— стационарный случайный процесс
со средним m
ξ
и спектральной плотностью s
ξ
(λ).
Доказать, что для любого n ∈ Z
ξ
N
(n) :=
1
N
N−1
X
k=0
ξ(n − k)
с.к.
−−−→ m
ξ
при N → ∞. (9.3)
32 СТАЦИОНАРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ [З. 8
ЗАНЯТИЕ 9
9. Доказать, что гауссовский процесс {ξ(t), t ∈ T }, стационарный
в широком смысле, является также стационарным в узком смысле,
т. е. для любых фиксированных моментов t1 , . . . , tn ∈ T конечномер- ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
ное распределение Pξ (t1 + h, . . . , tn + h) не зависит от h ∈ T .
10. Найти спектральную плотность стационарной функции {ξ(t), СТАЦИОНАРНЫХ ПРОЦЕССОВ
−α|t|
t ∈ R} с ковариационнойn функцией rξ (τ ) = e cos λo0 t, где α > 0.
α 1 1
О т в е т. sξ (λ) = + 2 .
2π α2 + (λ + λ0 )2 α + (λ − λ0 )2
11. Стационарная функция η(t), t ∈ R имеет спектральную плот-
λ2 (α − β) + α2 (α + β)
ность sη (λ) = , где α > β > 0. Определить кова-
π(λ2 + α2 )2
риационную функцию. П р и м е р 9.1 (Модель авторегрессии первого порядка). Даны
О т в е т. rη (τ ) = (1 + β|t|)e−α|t| . стационарная последовательность ξ(n) и число a ∈ (−1, 1), a 6= 0.
12. Является ли с.к.-дифференцируемой стационарная функция Доказать, что уравнение авторегрессии первого порядка
σ2 α 2(α2 − β 2 )
со спектральной плотностью sξ (λ) = · , η(n) = a η(n − 1) + b ξ(n), n ∈ Z, (9.1)
π [(α − β)2 + λ2 ][(α + β)2 + λ2 ]
где α > β > 0?
У к а з а н и е. Если преобразование Фурье функции f (t), t ∈ R, имеет единственное решение η := {η(n), n ∈ Z}, которое представляет
представляет собой квадратично интегрируемую (на всей прямой) собой стационарный процесс. Найти частотную характеристику и
функцию, то существует и непрерывна вторая производная f ′′ (t). весовую функцию преобразования (9.1). Получить представление η
О т в е т. Является. через ξ в спектральной и временно́й областях. Определить ковариаци-
онную функцию «выхода» η, если «входом» ξ является стандартный
белый шум.
П р и м е р 9.2. Даны стационарная функция ξ(t) и число α > 0.
Доказать, что линейное дифференциальное уравнение
η̇(t) = −α η(t) + β ξ(t), t ∈ R, (9.2)
имеет единственное стационарное решение η := {η(t), t ∈ R}. Найти
частотную характеристику и весовую функцию, соответствующие
данному линейному преобразованию. Получить явные формулы, свя-
зывающие «вход» ξ и «выход» η. Определить ковариационную функ-
цию процесса η(t), если ξ(t) — стандартный белый шум.
П р и м е р 9.3 (Закон больших чисел для стационарных последова-
тельностей). Пусть {ξ(n), n ∈ Z} — стационарный случайный процесс
со средним mξ и спектральной плотностью sξ (λ).
Доказать, что для любого n ∈ Z
N −1
1 X с.к.
ξ N (n) := ξ(n − k) −−−→ mξ при N → ∞. (9.3)
N
k=0
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 15
- 16
- 17
- 18
- 19
- …
- следующая ›
- последняя »
