ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
36 ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СТАЦИОНАРНЫХ ПРОЦЕССОВ [З. 9
6. Указать частотную характеристику H(λ), соответствующую
операции дифференцирования: X(t) 7→
˙
X(t). Доказать, что стацио-
нарный процесс X(t) дифференцируем в среднем квадратичном тогда
и только тогда, когда H ∈ L
2
(R, S
X
). Определить S
˙
X
(dλ) и Z
˙
X
(dλ).
О т в е т. H(λ) = iλ, S
˙
X
(dλ) = λ
2
S
X
(dλ), Z
˙
X
(dλ) = iλZ
X
(dλ).
7. Найти спектральную плотность стационарной функции Y (t),
удовлетворяющей уравнению
˙
Y (t) + αY (t) = β X(t) + U (t), если X(t)
является стационарным решением уравнения
˙
X(t) + γ X(t) = V (t),
где U(t), V (t) — независимые стандартные белые шумы, а α > 0, β
и γ > 0 — константы.
О т в е т. s
Y
(λ) =
λ
2
+ β
2
+ γ
2
2π(λ
2
+ α
2
)(λ
2
+ γ
2
)
.
8. Частотная характеристика H(λ) некоторого линейного преобра-
зования равна единице при a 6 |λ| 6 b и нулю при остальных λ ∈ R,
где b > a > 0. Найти весовую функцию g(t) этого преобразования и
дисперсию выходного сигнала {ξ(t), t ∈ R}, если на вход поступает
белый шум V (t) интенсивности ν.
О т в е т. g(t) = (sin bt − sin at)/(πt), D
ξ
= ν (b − a)/π.
9. Определить частотную характеристику
ξ
h
(t) =
1
2h
t+h
Z
t−h
ξ(s) ds.
Доказать, что l.i.m.
h→∞
ξ
h
(t) = m
ξ
, если s
ξ
(λ) ограничена.
О т в е т. H(λ) =
sin λh
λh
при λ 6= 0 и H(0) = 1.
З А Н Я Т И Е 10
ПОТОКИ СОБЫТИЙ. ПУАССОНОВСКИЙ
ПРОЦЕСС
П р и м е р 10.1. Обосновать следующие свойства простейшего по-
тока, пр едварительно указав их корректные формулировки:
а) интенсивность простейшего потока равна среднему числу собы-
тий, происходящих на интервале времени единичной длины;
б) распределение времени от текущего момента до момента про-
исшествия очередного события не зависит от того, сколько прошло
времени от момента появления последнего события до текущего мо-
мента.
П р и м е р 10.2. Предположим, что некоторое физическое тело со-
держит 10
20
атомов. Время распада ядра одного атома представляет
собой случайную величину, распределенную по экспоненциальному
закону с математическим ожиданием 10
9
лет.
Описать соответствующий поток распадов. За какое время рас-
паду подвергнется половина всех частиц (время полураспада)? Объ-
яснить почему данный поток на ограниченном интервале времени
можно считать простейшим. Каково среднее количество распавшихся
ядер в течение одной секунды?
П р и м е р 10.3. Рассмотрим случайную функцию {ξ(t), t > 0}, на-
зываемую телеграфным сигналом,
ξ(t) = V
k
при t ∈ [T
k
, T
k+1
), k = 0, 1, 2, . . . , T
0
= 0,
где {V
k
}— «бинарные сообщения», т. е. P{V
k
= ±1} = 1/2, а {T
k
}—
случайные моменты п рихода этих сообщений, где T
k+1
− T
k
∼ E(λ
0
).
При этом случайные величины {T
k+1
−T
k
, V
l
, k, l > 0} предполагаются
независимыми в совокупности.
Показать, что телеграфный сигнал ξ(t) — стационарная случайная
функция, и вычислить ее ковариационную функцию r
ξ
(t).
36 ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СТАЦИОНАРНЫХ ПРОЦЕССОВ [З. 9
З А Н Я Т И Е 10
6. Указать частотную характеристику H(λ), соответствующую
операции дифференцирования: X(t) 7→ Ẋ(t). Доказать, что стацио-
нарный процесс X(t) дифференцируем в среднем квадратичном тогда ПОТОКИ СОБЫТИЙ. ПУАССОНОВСКИЙ
и только тогда, когда H ∈ L2 (R, SX ). Определить SẊ (dλ) и ZẊ (dλ).
О т в е т. H(λ) = iλ, SẊ (dλ) = λ2 SX (dλ), ZẊ (dλ) = iλ ZX (dλ).
ПРОЦЕСС
7. Найти спектральную плотность стационарной функции Y (t),
удовлетворяющей уравнению Ẏ (t) + α Y (t) = β X(t) + U (t), если X(t)
является стационарным решением уравнения Ẋ(t) + γ X(t) = V (t),
где U (t), V (t) — независимые стандартные белые шумы, а α > 0, β
и γ > 0 — константы.
λ2 + β 2 + γ 2
О т в е т. sY (λ) = .
2π(λ + α )(λ + γ )
2 2 2 2
П р и м е р 10.1. Обосновать следующие свойства простейшего по-
8. Частотная характеристика H(λ) некоторого линейного преобра- тока, предварительно указав их корректные формулировки:
зования равна единице при a 6 |λ| 6 b и нулю при остальных λ ∈ R, а) интенсивность простейшего потока равна среднему числу собы-
где b > a > 0. Найти весовую функцию g(t) этого преобразования и тий, происходящих на интервале времени единичной длины;
дисперсию выходного сигнала {ξ(t), t ∈ R}, если на вход поступает б) распределение времени от текущего момента до момента про-
белый шум V (t) интенсивности ν. исшествия очередного события не зависит от того, сколько прошло
О т в е т. g(t) = (sin bt − sin at)/(πt), Dξ = ν (b − a)/π. времени от момента появления последнего события до текущего мо-
Z
t+h
1 мента.
9. Определить частотную характеристику ξ h (t) = ξ(s) ds.
2h П р и м е р 10.2. Предположим, что некоторое физическое тело со-
Доказать, что l.i.m. ξ h (t) = mξ , если sξ (λ) ограничена. t−h
держит 1020 атомов. Время распада ядра одного атома представляет
h→∞
sin λh собой случайную величину, распределенную по экспоненциальному
О т в е т. H(λ) = при λ 6= 0 и H(0) = 1.
λh закону с математическим ожиданием 109 лет.
Описать соответствующий поток распадов. За какое время рас-
паду подвергнется половина всех частиц (время полураспада)? Объ-
яснить почему данный поток на ограниченном интервале времени
можно считать простейшим. Каково среднее количество распавшихся
ядер в течение одной секунды?
П р и м е р 10.3. Рассмотрим случайную функцию {ξ(t), t > 0}, на-
зываемую телеграфным сигналом,
ξ(t) = Vk при t ∈ [Tk , Tk+1 ), k = 0, 1, 2, . . . , T0 = 0,
где {Vk } — «бинарные сообщения», т. е. P{Vk = ±1} = 1/2, а {Tk } —
случайные моменты прихода этих сообщений, где Tk+1 − Tk ∼ E(λ0 ).
При этом случайные величины {Tk+1 −Tk , Vl , k, l > 0} предполагаются
независимыми в совокупности.
Показать, что телеграфный сигнал ξ(t) — стационарная случайная
функция, и вычислить ее ковариационную функцию rξ (t).
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 17
- 18
- 19
- 20
- 21
- …
- следующая ›
- последняя »
