ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
3
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ СТАЦИОНАРНЫХ СЛУЧАЙНЫХ
ПРОЦЕССОВ ЛИНЕЙНЫМИ ЦЕПЯМИ С ПОСТОЯННЫМИ
ПАРАМЕТРАМИ
1. Корреляционная теория стационарных случайных процессов
Полное в вероятностном смысле описание случайных процессов
основывается на использовании многомерных плотностей вероятностей.
Однако во многих случаях возможен упрощенный подход, основанный на
использовании моментных функций не выше второго порядка (так
называемая корреляционная теория случайных процессов
). Если
случайный процесс является стационарным, по крайней мере в широком
смысле, то его двумерный центральный момент второго порядка
(корреляционная функция)
Kt t(, )
12
зависит от разности
τ= −||tt
12
, т. е.
Kt t K K(, ) () ( )
12
==−ττ
. Корреляционная функция
Kt t(, )
12
характеризует
степень линейной статистической связи тех случайных величин, которые
наблюдаются при
tt=
1
и
tt=
2
. Для стационарного случайного процесса
корреляционная функция
K ()
τ
связана парой преобразований Фурье с так
называемой спектральной плотностью мощности
W ()
ω
(теорема Винера-
Хинчина):
W K jdK W jd( ) ()exp( ) , () ( )exp( ) .ωτωτττ
π
ωωτω=− =
−∞
∞
−∞
∞
∫∫
1
2
(1)
Учитывая, что корреляционная функция
K ()
τ
является четной функцией,
из (1) следует, что и спектральная плотность мощности также является
четной функцией. Следовательно, формулы (1) можно переписать в виде
WK dKW d( ) ()cos( ) , () ( )cos( ) .ωτωτττ
π
ωωτω==
∞∞
∫∫
2
1
00
(2)
Для оценки «скорости изменения» реализаций случайного процесса
во времени часто используют такие параметры, как интервал корреляции
τ
k
и эффективная ширина спектра
Δ
Ω
:
τττ ωω
k
KdK W dW==
∞∞
∫∫
() (), ( ) ().
00
02 0ΔΩ (3)
Причем, очевидно,
τ
π
k
ΔΩ =
. Интервал корреляции
τ
k
характеризует
минимальный промежуток времени между отсчетами случайного процесса,
при котором можно считать эти отсчеты приближенно
некоррелированными.
Используя спектральную плотность мощности, легко можно найти
среднюю мощность случайного процесса
Psr K W d==
∞
∫
() ( ) ,0
1
0
π
ωω
(4)
3
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ СТАЦИОНАРНЫХ СЛУЧАЙНЫХ
ПРОЦЕССОВ ЛИНЕЙНЫМИ ЦЕПЯМИ С ПОСТОЯННЫМИ
ПАРАМЕТРАМИ
1. Корреляционная теория стационарных случайных процессов
Полное в вероятностном смысле описание случайных процессов
основывается на использовании многомерных плотностей вероятностей.
Однако во многих случаях возможен упрощенный подход, основанный на
использовании моментных функций не выше второго порядка (так
называемая корреляционная теория случайных процессов). Если
случайный процесс является стационарным, по крайней мере в широком
смысле, то его двумерный центральный момент второго порядка
(корреляционная функция) K (t1, t 2 ) зависит от разности τ =| t1 − t 2 | , т. е.
K (t1, t 2 ) = K ( τ ) = K ( − τ ) . Корреляционная функция K (t1, t 2 ) характеризует
степень линейной статистической связи тех случайных величин, которые
наблюдаются при t = t1 и t = t 2 . Для стационарного случайного процесса
корреляционная функция K ( τ ) связана парой преобразований Фурье с так
называемой спектральной плотностью мощности W (ω ) (теорема Винера-
Хинчина):
∞ 1 ∞
W (ω ) = ∫ K ( τ )exp( − jωτ )dτ, K ( τ ) = ∫W (ω )exp( jωτ )dω. (1)
−∞ 2 π −∞
Учитывая, что корреляционная функция K ( τ ) является четной функцией,
из (1) следует, что и спектральная плотность мощности также является
четной функцией. Следовательно, формулы (1) можно переписать в виде
∞ 1∞
W (ω ) = 2 ∫ K ( τ )cos(ωτ )dτ, K ( τ ) = ∫W (ω )cos(ωτ )dω. (2)
0 π 0
Для оценки «скорости изменения» реализаций случайного процесса
во времени часто используют такие параметры, как интервал корреляции
τ k и эффективная ширина спектра ΔΩ :
∞ ∞
τ k = ∫ K ( τ )dτ K (0 ), ΔΩ = 2 ∫W (ω )dω W (0 ). (3)
0 0
Причем, очевидно, τ k ΔΩ = π . Интервал корреляции τ k характеризует
минимальный промежуток времени между отсчетами случайного процесса,
при котором можно считать эти отсчеты приближенно
некоррелированными.
Используя спектральную плотность мощности, легко можно найти
среднюю мощность случайного процесса
1∞
Psr = K (0 ) = ∫W (ω )dω, (4)
π0
