Элементы операционного исчисления. Петрова Е.А. - 16 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Запишем операторное уравнение
()
1
2
)(1
2
2
+
=++
p
p
pXpXp
,
откуда
1
1
)1(
2
)(
222
+
−
+
=
pp
p
pX
.
Находим оригинал для
)( pX . Оригинал для функции
1
1
2
+p
находим, применяя формулу 6 (табл. 1):
←
+
•
1
1
2
p
tsin .
Для нахождения оригинала для функции
22
)1(
2
+p
p
воспользуемся, например, теоремой о дифференцировании
изображения (см. п. 2):
←
+
−=
+
•
/
222
1
1
)1(
2
p
pp
p
tt sin
.
Таким образом, ←
•
)( pX
()
ttttt sin1sinsin −=− , поэтому
(
)
(
)
tttx sin1
−
=
.
б) Пусть
→
•
)(tx )( pX . Тогда:
→
′
•
)(tx 2)()0()(
−
=
−
ppXxppX ;
→
′′
•
)(tx
(
)
(
)
(
)
ppXpxpxpXp 200)(
22
−=
′
−−
;
→
′′′
•
)(tx
()
(
)
(
)
(
)
1200)0(
2323
+−=
′′
−
′
−− ppXpxxpxppXp
.
Запишем далее операторное уравнение
(
)
,02)(12
23
=−++− ppXppXp
откуда
(
)
()
()()
.
1
1
11
112
12)(
22
2
2
2
3
2
23
+
+=
+
+
+
+
=
+
+
=⇒
⇒+=+
p
p
p
pp
p
pp
p
pp
p
pX
pppXpXp
Применяя формулы 1,5 (табл. 1), находим оригинал для функции )( pX :
(
)
ttx cos1
+
=
.
Рассмотрим систему линейных дифференциальных уравнений. Система решается аналогично, поэтому сразу
рассмотрим пример.
Пример 21.
Решить задачу Коши:
(
)
()
=+=
′
−=+−=
′
.00;1
;10;2
yxy
xyx
Решение. Пусть →
•
)(tx )( pX , →
•
)(ty )( pY . Тогда →
′
•
)(tx
(
)
(
)
10)(
+
=
− ppXxppX ,
→
′
•
)(ty
() ( )
ppYyppY =− 0)( ,
(
)
→
•
t
η
p
1
.
Запишем систему уравнений для изображений:
() ()
() ()
+=
+−=+
.
1
;
2
1
p
pXppY
p
pYppX

Страницы