Элементы операционного исчисления. Петрова Е.А. - 15 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

и ←
•
)( pF
∑
=
′
=
n
k
tp
km
km
k
e
pR
pQ
tf
1
)(
)(
)(
2
1
.
Пример 19.
Найти оригиналы для функций
()
4)3)(2)(1(
)(
++++
=
pppp
p
pF
.
Решение. Здесь функция
()
4)3)(2)(1(
)(
++++
=
pppp
p
pF
имеет только простые полюсы. Значит,
()
24503510)4)(3)(2(1)(
234
4
++++=++++= pppppppppR
имеет только простые нули,
5070304)(
23
4
+++=
′
ppppR
, поэтому
←
•
)( pF
+
+++
=
−= 1
23
5070304
)(
p
pt
ppp
ep
tf
2
23
5070304
−=
+++
+
p
pt
ppp
ep
+
+++
+
−= 3
23
5070304
p
pt
ppp
ep
tttt
p
pt
eeee
ppp
ep
432
4
23
3
2
2
3
6
1
5070304
−−−−
−=
+−+−=
+++
+
.
5. ПРИЛОЖЕНИЯ ОПЕРАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
К РЕШЕНИЮ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЙ И ИХ СИСТЕМ
Рассмотрим задачу Коши для обыкновенного линейного дифференциального уравнения второго порядка с
постоянными коэффициентами:
,)0(,)0(
);(
10
210
xxxx
tfxaxaxa
=
′
=
=+
′
+
′
′
где 0иconst,,,
0210
≠= aaaa .
Начальные условия заданы в точке
0
0
=t . Если начальные условия задаются в другой точке 0
0
≠
t , то заменой
аргумента
0
ttu −= их сдвигают в точку 0
0
=u .
Пусть
→
•
)(tx )( pX , и
()
pFtf →
•
)( . Применяя к обеим частям (1) преобразование Лапласа и используя теорему о
дифференцировании оригинала и свойство линейности преобразования Лапласа, вместо дифференциального уравнения (1) с
начальными условиями (2) получаем операторное уравнение (уравнение для изображений)
(
)
(
)
(
)
.)(
01100021
2
0
pFxaxapxapXapapa =++−++
(3)
Из (3) следует
()
(
)
21
2
0
011000
apapa
xaxapxapF
pX
++
+++
=
. (4)
Получено, как говорят, операторное решение задачи. Находя далее по )( pX оригинал )(tx , мы приходим к решению
исходной задачи Коши
)(tx .
Общий случай решения задачи Коши для линейного дифференциального уравнения n-го порядка с постоянными
коэффициентами принципиально ничем не отличается от случая
2
=
n .
Пример 20.
Найти решение задачи Коши:
а)
1)0(,0)0(,cos2 −=
′
==+
′′
xxtxx ;
б)
()
.10,0)0(,2)0(,0 −=
′′
=
′
==
′
+
′′′
xxxxx
Решение. а) Пусть
→
•
)(tx )( pX , тогда по теореме о дифференцировании оригинала имеем
→
′
•
)(tx )()0()( ppXxppX =− , →
′′
•
)(tx
(
)
(
)
(
)
100)(
22
+=
′
−− pXpxpxpXp
,
1
cos
2
+
→
•
p
p
t
.
(1)
(2)

Страницы