Элементы операционного исчисления. Петрова Е.А. - 14 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Вторая теорема разложения. Пусть функция )( pF комплексной переменной р аналитична во всей плоскости за
исключением конечного числа изолированных особых точек
1
p ,
2
p ,
3
p , …,
n
p , расположенных в полуплоскости
0
Re σ<p . Если 0)(lim =
∞→
pF
p
и )( pF абсолютно интегрируема вдоль любой вертикальной прямой
tt
ω
sin
, то )( pF
является изображением и
←
•
)( pF
{}
∑
=
n
k
pt
p
epF
k
1
)(res .
Пример 18. Найти оригиналы для функций
()()
2
2
11
1
)(
+−
++
=
pp
pp
pF
.
Решение. Применим вторую теорему разложения для обращения изображения
()()
2
2
11
1
)(
+−
++
=
pp
pp
pF
. Функция имеет
два полюса: простой
1
1
=p и полюс второго порядка 1
2
−
=
p . Таким образом,
()()
(
)
()()
.
11
1
11
)1(
)(
2
2
1
2
2
1
21
+−
++
+
+−
++
=
−==
pp
pp
res
pp
epp
restf
p
pt
p
Находим вычеты:
{}
()
(
)
()()
(
)
()
t
pt
p
pt
p
pt
p
e
p
epp
pp
eppp
epFres
4
3
1
1
lim
11
11
lim)(
2
2
1
2
2
1
1
1
=
+
++
=
+−
−++
=
→→
=
;
{}
(
)
()
()()
(
)
()
()
()
[]
()
()
()
.
2
1
4
1
1
11112
lim
1
1
lim
11
11
lim)(
2
22
1
2
1
2
2
2
1
1
2
tt
ptptpt
p
pt
p
pt
p
pt
p
tee
p
epppppteep
p
epp
pp
eppp
dp
d
epFres
−−
−→
−→−→
−=
−=
−
++−−++++
=
=
′
−
++
=
+−
+++
=
Итак, получаем
.
2
1
4
1
4
3
)(
ttt
teeetf
−−
−+=
Если
)( pF – несократимая дробно-рациональная функция: )(,где,
)(
)(
)(
1
2
1
21
pQmm
pR
pQ
pF
m
m
m
<= и
)(
2
pR
m
–
многочлены соответствующих степеней, точка
k
p – полюс порядка
k
ν
, то
{}
()
[
]
pt
k
pp
k
pt
p
epFpp
dp
d
epFres
k
k
k
k
k
)()(lim
!1
1
)(
1
1
ν
−ν
−ν
→
−
−ν
= .
Производную произведения представим по формуле Лейбница
[]
=−
ν
−ν
−ν
pt
k
epFpp
dp
d
k
k
k
)()(
1
1
[]
;)()(
1
1
1
0
1
j
pt
j
k
j
j
j
j
k
k
k
k
k
dp
ed
pFpp
dp
d
C
−−
−−
−
=
−
−=
∑
ν
ν
ν
ν
ν
pt
j
j
pt
j
et
dp
ed
k
k
k
−−ν
−−ν
−−ν
=
1
1
1
,
)!1(!
)!1(
1
jj
C
k
k
j
k
−−ν
−
ν
=
−ν
,
поэтому
{}
[]
∑
−ν
=
ν
→
−−ν
−
−−ν
=
1
0
1
)()(lim
)!1(!
)(
k
k
k
kk
k
j
k
j
j
pp
k
tpj
pt
p
pFpp
dp
d
jj
et
epFres
.
Если все особые точки дробно-рациональной функции )( pF – простые полюса, то эта формула существенно
упрощается:
{
}
[
]
)(
)(
)(
)(
)(lim
)()(lim)(
2
1
2
1
km
tp
km
m
pt
m
k
pp
pt
k
pp
pt
p
pR
epQ
pR
epQ
pp
epFppepFres
k
k
k
k
′
=
−=
=−=
→
→

Страницы