Элементы операционного исчисления. Петрова Е.А. - 13 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Правило 5. Наличие степеней переменной р в знаменателе позволяет применить теорему об интегрировании оригинала.
Пример 16.
Найти оригиналы для функции
()
74
1
)(
22
++
=
ppp
pF
.
Решение. Получим изображение функции
←
++
=
++
•
3)2(
1
74
1
22
ppp
t
t
e 3sin
2
3
1
−
.
По теореме интегрирования оригинала получаем
()
←
++
•
74
1
2
ppp
7
1
3sin
21
2
3cos
7
1
3sin
3
1
22
0
2
++−=←
−−−
•
∫
tetetdte
tt
t
t
;
()
∫
=
++−←
++
−−
•
t
tt
dttete
ppp
0
22
22
7
1
3sin
21
2
3cos
7
1
74
1
49
4
7
3sin
147
3
3cos
49
4
22
−++=
−−
t
tete
tt
.
Правило 6.
Возможность представить изображение в виде произведения позволяет применить теорему Бореля.
Пример 16.
Представим изображение в виде произведения
()
() ()
pFpF
pppppp
pF
21
2222
74
11
74
1
)( =
++
=
++
=
,
где
()
2
1
1
p
pF =
,
()
74
1
2
2
++
=
pp
pF
.
Имеем
() ()
== tfttf
21
, t
t
e 3sin
2
3
1
−
. Далее по теореме Бореля
() () () ( )
.
49
4
7
3sin
147
3
3cos
49
4
3sin
3
1
*
22
2
0
21
−++=
=τ
ττ−==
−−
τ−
∫
t
tete
dettftftf
tt
t
Первая теорема разложения. Если функция )( pF аналитична в некоторой окрестности бесконечно удаленной точки и
ее разложение в ряд по степеням
p
1
∑
∞
=
+
=
0
1
)(
n
n
n
p
a
pF
,
то функция
∑
∞
=
=
0
!
)(
n
n
n
n
t
atf
, 0≥t
является оригиналом, соответствующим изображению )( pF .
Пример 17. Найти оригиналы для функций:
а)
=
p
pF
1
sin)(
; б)
2
2
1
)(
p
e
p
pF = .
Решение. Условия теоремы выполнены. Лорановское разложение функции
)( pF в окрестности бесконечно удаленной
точки, используя типовые разложения
()
()
∑
∞
=
+
+
−
=
0
12
!12
1
sin
n
n
n
n
z
z
,
∑
∞
=
=
0
!
n
n
z
n
z
e
есть:
а)
∑∑
∞
=
∞
=
+
+
−
=⇒
+
−
=
0
2
0
12
)!2()!12(
)1(
)(
1
)!12(
)1(
)(
n
nn
n
n
n
n
t
n
tf
p
n
pF
;
б)
∑∑
∞
=
∞
=
+
==
00
122
!
2
!
21
)(
nn
nn
npnp
p
pF
()
.
!2!
2
)(
0
2
∑
∞
=
=⇒
n
n
n
t
n
tf

Страницы