Элементы операционного исчисления. Петрова Е.А. - 6 стр.

UptoLike

Составители: 

1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФУНКЦИИ-ОРИГИНАЛА И
ЕЕ ИЗОБРАЖЕНИЯ ПО ЛАПЛАСУ
Определение 1. Функцией-оригиналом называется любая комплекснозначная или действительнозначная функция
(
)
tf
действительного аргумента t, удовлетворяющая следующим трем условиям:
1.
()
0=tf при 0<t .
2.
()
tf имеет ограниченный рост, т.е. возрастает не быстрее показательной функции: существуют такие постоянные
0>M и 0
0
σ , что
()
t
eMtf
0
σ
при 0>t .
Число
0
σ называется показателем роста функции
(
)
tf .
3. На любом отрезке
[]
(
)
<< baba 0, функция удовлетворяет условиям Дирихле, т.е. непрерывна или имеет
конечное число устранимых разрывов и разрывов первого рода; монотонна или имеет конечное число экстремумов.
Простейшей функцией-оригиналом является единичная функция (функция Хевисайда)
()
<
=η
.0,1
;0,0
t
t
t
Очевидно,
() ()
()
<
=η
,0,
;0,0
ttf
t
ttf
если
()
tf удовлетворяет условиям 1, 3, то
() ()
ttf η уже удовлетворяет всем условиям функции оригинала.
Далее под заданной с помощью аналитической формулы функцией
(
)
tf будем понимать произведение этой функции
на функцию Хевисайда, а множитель
)(tη опускать.
Пример 1. Проверить, являются ли функции оригиналами
()
<
=
,0,3
;0,0
5
1
te
t
tf
t
()
<
=
,0,
5
1
;0,0
2
t
t
t
tf
()
<
=
.0,2
;0,0
3
3
t
t
tf
t
Решение. Функция
()
tf
1
является оригиналом, так как удовлетворяет условиям 1 и 3: 5,3
0
=σ=M ; функция
(
)
tf
2
не
является оригиналом, так как в точке
5=t имеет разрыв второго рода (не выполняется условие 1);
()
tf
3
так же не является
оригиналом, так как растет быстрее показательной функции:
t
Me
t
0
3
2
σ
> для любыx
M
и
0
σ , 0>t (не выполняется
условие 3).
Определение 2. Изображением по Лапласу функции-оригинала f (t) (или преобразованием Лапласа функции f (t))
называется функция комплексной переменной p, определяемая равенством
() ()
=
0
.dtetfpF
pt
Будем употреблять обозначение:
() ( )
pFtf →
,
(
)
(
)
tfpF 
.
Функции
()
pF , являющиеся изображениями, удовлетворяют необходимому условию: если
()
pF есть изображение, то
()
0pF при
+∞pRe
.
Пример 2. Найти изображение функции:
а) функции Хевисайда; б)
t
etf
α
=)(
; в) ttf sin)( = .
Решение.
а)
pp
e
dtepF
pt
pt
1
1)(
0
0
===
+∞
+∞
, так как
0lim =
+∞
pt
t
e
, при 0Re
0
=
> Sp . Итак,
()
p
t
1
→η
.
б)
→
αt
e
α
=
α
==
+
α
+∞
αα
+∞
p
e
p
dtedtee
tptptpt
11
0
)(
0
)(
0
.
в)
()
+∞
+
+∞
=+==
0
0
0
cos
1
sin
1
sin tdte
p
te
p
tdtepF
ptptpt
.sin
11
sin
1
cos
1
cos
1
0
22
0
2
0
2
0
dtte
pp
tdte
p
te
p
dtte
p
pt
ptptpt
+
+∞
+
+∞
=
===
Как видим, с помощью двукратного интегрирования по частям интеграл свели к самому себе. Таким образом, для
)( pF
получено уравнение