Элементы операционного исчисления. Петрова Е.А. - 7 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

1
1
)(1)()1()(
11
)(
2
2
22
+
=⇒=+⇒−=
p
pFpFppF
pp
pF
.
Итак,
1
1
sin
2
+
→
•
p
t
.
2. СВОЙСТВА ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА
1. Линейность. Пусть
() ( )
pFtf →
•
,
()
(
)
pGtg →
•
и
µ
λ
,
– произвольные комплексные числа. Тогда имеет место
соотношение
()
(
)
(
)
(
)
pGpFtgtf µ+λ→µ+λ
•
.
Это свойство непосредственно следует из свойства линейности несобственного определенного интеграла. С его
помощью можно просто вывести изображения функций
ttf
ω
=
sin)( , ttf
ω
=
cos)( , исходя из изображения .
1
α−
→
•
α
p
e
t
=
ω+
−
ω−
→
−
=ω
•
ω−ω
ipipii
ee
t
titi
11
2
1
2
sin
22
))((
)()(
2
1
ω+
ω
=
ω+ω−
ω−−ω+
=
p
ipip
ipip
i
;
=
ω+
+
ω−
→
+
=ω
•
ω−ω
ipip
ee
t
titi
11
2
1
2
cos
22
)()(
)()(
2
1
ω+
=
ω+ω−
ω−+ω+
=
p
p
ipip
ipip
.
Далее,
→
−
=ω
•
ω−ω
2
sh
tt
ee
t
22
11
2
1
ω−
ω
=
ω+
−
ω−
p
pp
;
→
+
=ω
•
ω−ω
2
ch
tt
ee
t
22
11
2
1
ω−
=
ω+
+
ω−
p
p
pp
.
2.
Теорема подобия. Если f (t) – функция-оригинал и
(
)
(
)
pFtf →
•
, то для любого 0>
λ
справедливо соотношение
()
λλ
→λ
•
p
Ftf
1
.
Суть утверждения состоит в том, что умножение аргумента t оригинала на положительное число
λ приводит к делению
аргумента p и самого
()
pF на то же число λ.
Проиллюстрируем применение теоремы подобия.
Пример 3. Найти изображение функции ttf
ω
= sin)( .
Решение. Из примера 2 пункта в) следует, что
1
1
sin
2
+
→
•
p
t
. Тогда по теореме подобия
222
1
11
sin
ω+
ω
=
+
ω
ω
→ω
•
p
p
t
.
3. Теорема смещения. Если
(
)()
pFtf →
•
, то
(
)
(
)
apFtfe
at
−→
•
. Здесь
a
– произвольное комплексное число.
Суть утверждения состоит в том, что умножение оригинала на функцию
at
e приводит к смещению на величину a
аргумента p изображения
()
pF .
Пример 4. Найти изображение функции
tetf
t
ω=
α
sin)(
.
Решение. Из примера 3 следует
22
sin
ω+
ω
→ω
•
p
t
. Тогда по теореме смещения
→ω
•
α
te
t
sin
()
2
2
ω+α−
ω
p
.
4. Теорема запаздывания. Если
() ( )
pFtf →
•
, то для любого 0>
τ
имеет место соотношение
(
)
(
)
pFetf
pτ−
•
→τ− .
Суть утверждения состоит в том, что начало процесса в момент
τ (в сравнении с процессом, начинающимся в момент
0=t и описываемым оригиналом f (t)), т.е. его запаздывание на время τ влечет за собой умножение изображения на
τ− p
e .
Пример 5. Найти изображение функции
(
)
2sin)(
−
= ttf .

Страницы