Автоматизация технологических процессов на основе гибких производственных систем. Пищухин А.М. - 84 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

[
]
{
}
)t,u,Y,tt(IMmin))tt,y(
€
,tt(S
kz
U)(u
)l(
1
tt
)
k
t,tt(
0
∆∆ω∆
∆
∆τ
τ
+=++
+
+∈
∈
.
Предположим, что на интервале (t, t +
∆
t) управление u(τ) выбрано
оптимальным. Тогда (102) можно записать без знака min:
))]tt,y(
€
,tt(S[Md),u,Y(lM))t,y(
€
,t(S
)l(
1z
tt
t
2z
)l(
1
tt
∆ω∆ττω
∆
+++
=
∫
+
.
Перепишем эту формулу так:
−=
−++
∫
+ tt
t
2z
)l(
1
)l(
1z
d),u,Y(lM
t
1
t
))t,y(
€
,t(S)]tt,y(
€
,tt(S[M
t
t
∆
ττ
∆∆
ω∆ω∆
. (103)
В полученном выражении перейдем к пределу при
∆
t
→
0. Если
существует предел
{}
))t,y(
€
,t(S))t,y(
€
,t(S)]tt,y(
€
,tt(S[M
t
1
lim
)l(
1
)l(
1
)l(
1
z
0t
t
ωΚω∆ω∆
∆
∆
=−++
→
,
то, применяя теорему о среднем в правой части, получим
. (104) 0)]t,u,Y(l[M))t,y(
€
,t(S
2z
)l(
1
=+
ωΚ
Если предположить, что управление
u* на интервале (t, t +
∆
t) выбрано
неоптимальным, то это означает неоптимальность управления на интервале
(t, t
k
). Тогда для оптимальной оценки справедлива формула
))]tt,y(
€
,tt(S[Md),u,Y(lM))t,y(
€
,t(S
)l(
1z
tt
t
*
2z
)l(
1
tt
∆ω∆ττω
∆
+++
≤
∫
+
.
Перепишем это выражение в форме
−≥
−++
∫
+ tt
t
*
2z
)l(
1
)l(
1z
d),u,Y(lM
t
1
t
))t,y(
€
,t(S)]tt,y(
€
,tt(S[M
t
t
∆
ττ
∆∆
ω∆ω∆
Перейдем к пределу при
∆
t
→
0. В результате получим для
неоптимального управления следующее неравенство:
. (105) 0)]t,u,Y(l[M))t,y(
€
,t(S
*
2z
)l(
1
≥+
ωΚ
Из выражений (124) и (125) следует, что минимальное значение левой
части достигается при оптимальном управлении и оно равно нулю, то есть
84
                                                                   {
       S ( t + ∆t ,ω€1( l )( y ,t + ∆t )) = min M zt + ∆t [I ( t + ∆t ,Y ,u ,tk )] .
                                                   u ( τ )∈U 0
                                                                                               }
                                                  τ ∈( t + ∆t ,t k )


      Предположим, что на интервале (t, t + ∆t) управление u(τ) выбрано
оптимальным. Тогда (102) можно записать без знака min:
                                        t + ∆t               
       S ( t ,ω€1( l ) ( y ,t )) = M zt  ∫ l 2 ( Y ,u ,τ )dτ  + M zt [ S ( t + ∆t ,ω€1( l ) ( y ,t + ∆t ))] .
                                         t                   
      Перепишем эту формулу так:
M zt [ S ( t + ∆t ,ω€1( l ) ( y ,t + ∆t )] − S ( t ,ω€1( l ) ( y ,t ))      1     t + ∆t              
                                                                         = − M zt  ∫ l2 ( Y ,u ,τ )dτ  . (103)
                                     ∆t                                     ∆t     t                  
      В полученном выражении перейдем к пределу при ∆t → 0. Если
существует предел

       lim
             1
       ∆t →0 ∆t
                    {                                                                      }
                M zt [ S ( t + ∆t ,ω€1( l ) ( y ,t + ∆t )] − S ( t ,ω€1( l ) ( y ,t )) = ΚS ( t ,ω€1( l ) ( y ,t )) ,

то, применяя теорему о среднем в правой части, получим
                                      ΚS ( t ,ω€1( l ) ( y ,t )) + M z [ l 2 ( Y ,u ,t )] = 0 .              (104)
      Если предположить, что управление u* на интервале (t, t + ∆t) выбрано
неоптимальным, то это означает неоптимальность управления на интервале
(t, tk). Тогда для оптимальной оценки справедлива формула
                                           t + ∆t                
              ω
       S ( t , €1( l ) (   y ,t )) ≤ M zt  ∫ l 2 ( Y ,u * ,τ )dτ  + M zt [ S ( t + ∆t ,ω€1( l ) ( y ,t + ∆t ))] .
                                           t                     
      Перепишем это выражение в форме
       M zt [ S ( t + ∆t ,ω€1( l ) ( y ,t + ∆t )] − S ( t ,ω€1( l ) ( y ,t ))       1     t + ∆t                 
                                                                                 ≥ − M zt  ∫ l 2 ( Y ,u * ,τ )dτ 
                                            ∆t                                      ∆t     t                     
      Перейдем к пределу при ∆t → 0. В результате получим для
неоптимального управления следующее неравенство:
                                                 ΚS(t,ω€1(l )( y,t ))+ Mz [l2(Y,u* ,t )]≥0.                  (105)
      Из выражений (124) и (125) следует, что минимальное значение левой
части достигается при оптимальном управлении и оно равно нулю, то есть

                                                                                                                      84

Страницы