Автоматизация технологических процессов на основе гибких производственных систем. Пищухин А.М. - 99 стр.

то, после интегрирования этого уравнения по τ в пределах от t до ∞ в
соответствии с вышеописанным равенством, приходим к обыкновенному
дифференциальному уравнению второго порядка относительно ρ = ρ ( y ) с
соответствующими граничными условиями:
                  1 2 ′′
                  m ρ l ′ ( y ) + αyρ l′ ( y ) + 1 = 0,
                 2                                                 C l < y < ∞,              (144)
                  ρ l (C l ) = ρ l (∞ ) = 0.

      Решая эту краевую задачу, находим
                           2 y      y      αz 2                     αy 2         
               ρ l ( y ) = 2 ∫  C − ∫ exp − 2              dz  exp
                                                                      m2
                                                                                      dy ,
                                                                                      
                          m Cl    Cl      m                                     
                                              −1
                     ∞                
                              αy 2                        α
                                                                   (              )
                                                   ∞∞
                                                                   2 
                 C =  ∫ exp 2      dy 
                                       
                                                               2
                                                   ∫ ∫ exp 2 y − z dzdy .                    (145)
                     C                                   m         
                      l     m                  Cl Cl

    Оценим теперь среднее число выбросов значений марковского процесса
за данный уровень. Рассмотрим временной интервал (t, t+∆t). Поскольку его
длина не зависит ни от τ, ни от y, то функция вероятности того, что значения
процесса не опустятся ниже уровня Cℓ, должна удовлетворять уравнению
ФПК
             ∂v (τ , y )    ∂  ∂v (τ , y )  1 ∂ 2
                ∂τ
                         − α  y
                            ∂y    ∂y  2 ∂y
                                             −   2
                                                               (
                                                     m 2 v (τ , y ) = 0 .     )                (146)

    Начальные и граничные условия
                                  v (τ , y ) |τ