Автоматизация технологических процессов на основе гибких производственных систем. Пищухин А.М. - 98 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

области, то время ρ их пребывания там будет не менее чем
t−
τ
. Вероятность
реализации этого события равна
)
()
∫
∞
−t
dzzf
τ
ρ
. (137)
С другой стороны, эта же вероятность определяется через плотность
вероятности
() ( )
∫
=
∫
∞
∞
−
l
C
l
t
dyyWdzzf ,
τ
τ
ρ
(138)
Таким образом,
() ()
∫
∂
∂
−=
′
−=
∞
+=+=
l
C
zt
l
zt
dy
W
Pzf
ττρ
τ
τ
||
. (139)
Математическое ожидание времени пребывания процесса в заданной
области
() ()
∫∫
==
∞
∞
0 t
l
dPdzzf
ττρρ
. (140)
Для того момента, когда значения случайного процесса достигают
границы допустимой области, функция
(
)
ytW , является решением первого
уравнения Колмогорова
0
2
1
2
2
2
=
∂
∂
+
∂
∂
−
∂
∂
y
W
m
y
W
y
t
W
lll
α
. (141)
Заменив в этом уравнении производную
t
W
′
на
τ
W
′
−
и проинтегрировав
его по переменному y в пределах от
до ∞ с учетом равенства (131),
приходим к дифференциальному уравнению
l
C
2
2
2
2
1
y
P
m
y
P
y
P
∂
∂
+
∂
∂
−=
∂
∂
α
τ
. (142)
Так как, согласно определению вероятности
(
τ
P , имеют место
равенства
()
,1
=
tP
(
)
0
=
∞
P , (143)
98
области, то время ρ их пребывания там будет не менее чем τ − t . Вероятность
реализации этого события равна
                                         ∞
                                         ∫ f ρ (z )dz.                                            (137)
                                      τ −t

    С другой стороны, эта же вероятность определяется через плотность
вероятности
                            ∞                 ∞
                             ∫ f ρ ( z )dz = ∫ W (τ , y )dy
                                                l
                                                                                                 (138)
                           τ −t               Cl

    Таким образом,
                                                             ∞ ∂W l
                     f ρ ( z ) = − P ′(τ ) |τ =t + z = − ∫             |τ =t + z dy .            (139)
                                                             Cl   ∂τ

    Математическое ожидание времени пребывания процесса в заданной
области
                                     ∞                   ∞
                             ρ l = ∫ zf (ρ )dz = ∫ P (τ )dτ .                                   (140)
                                     0                   t

    Для того момента, когда значения случайного процесса достигают
границы допустимой области, функция W (t , y ) является решением первого
уравнения Колмогорова
                             ∂W l      ∂W l 1 2 ∂ 2W l
                                  − αy     + m         = 0.                                      (141)
                              ∂t        ∂y  2    ∂y 2


    Заменив в этом уравнении производную Wt′ на − Wτ′ и проинтегрировав
его по переменному y в пределах от C l до ∞ с учетом равенства (131),
приходим к дифференциальному уравнению
                                ∂P       ∂P 1 2 ∂ 2 P
                                   = −αy   + m        .                                          (142)
                                ∂τ       ∂y 2   ∂y 2
    Так как, согласно определению вероятности                                    P (τ ) ,   имеют место
равенства
                             P (t ) = 1,      P (∞ ) = 0 ,                                       (143)


                                                                                                        98

Страницы