Автоматизация технологических процессов на основе гибких производственных систем. Пищухин А.М. - 97 стр.

    Поскольку процесс считается марковским, условная функция плотности
вероятности удовлетворяет уравнению Фоккера - Планка – Колмогорова
(ФПК).
    Считая переменную цену подчиняющейся стохастической модели
состояния в форме Стратоновича
                           dξ (t , ω ) = −αξ (t , ω )dt + m 2 dw(t , ω ),
                                                                          ,             (133)
                           ξ (0, ω  ) = x 0 ,

где w(t , ω ) - винеровский случайный процесс, α , m 2 – параметры модели,
приходим к необходимости решения следующей смешанной задачи для
уравнения ФПК
                   ∂W l (τ , y )
                  
                       ∂t
                                  =α
                                     ∂y
                                       ∂
                                             (l
                                                (
                                         yW y, τ +) m2 ∂2
                                                     2 ∂y 2
                                                              )
                                                            W l ( y, τ );
                  
                   l
                  W (0, y ) = δ ( y );                                                  (134)
                   l
                  W (τ , C l ) = W (τ , ∞ ) = 0.
                                     l

                  
                  
    Решение данной задачи проведено в /6/ и выражается через функцию
параболического цилиндра Dν (z ) . Подставляя его в формулу (3.13), получим

                       ∞           αν k τ   ∞         αy 2            2α 
                                              ∫ y exp −              Dν 
                           2
            ∆Ц ср =    ∑ ck    exp −                                          
                                     2       Cl           2            m y dy ,      (135)
                      k =1                              2m                  

    где   νk -   корни         уравнения         Dν   (                 )
                                                          2αC l / m 2 = 0 ,     а   нормирующий

множитель вычисляется по формуле
                                                          −1 2
                            ∞         2α  
                      c k =  ∫ Dν2k    y dy                , k = 1,2, Κ             (136)
                            c          m        
                             l              
    Определим теперь среднее время пребывания цены на продукцию в
области превышения над себестоимостью. Пусть f ρ (z ) - функция плотности

вероятности времени пребывания скалярного марковского процесса в
заданной области. Если в момент времени τ значения рассматриваемого
случайного процесса (цены на продукцию) еще ни разу не достигали границ
                                                                                              97