Методы и средства оперативного анализа случайных процессов. Пивоваров Ю.Н - 31 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

31
Станем рассматривать сигнал на 0
≤ t ≤ T отрезке, а в качестве критерия
адекватности модели возьмем величину
{}
∫
−=∆
T
o
т
dttxtx
2
)()(
– квадратичную
погрешность или взвешенную квадратичную погрешность
{}
dttptxtx
T
o
т
)()()(
2
∫
−=
δ
, (1.56)
p(t) – весовая функция, выбираемая из технических условий и вводимая
для того, чтобы на данном временном отрезке обеспечить наилучшую
адекватность модели.
.)()()()(2)()(
2
2
∫∫∫
+−=
T
o
T
o
T
o
тm
dttptxdttptxdttptx
δ
Рассмотрим
δ как функцию параметров модели λ: δ>0, δ - квадратичная
форма и поэтому имеет единственный экстремум.
Условия экстремума функции нескольких переменных:
),(,0 Nom
m
==
∂
∂
λ
δ
∫∫
=
∂
∂
−
∂
∂
=
∂
∂
TT
m
m
m
m
m
m
dttptx
tx
dttp
tx
tx
00
0)()(
)(
2)(
)(
)(2
λλλ
δ
),(
)(
t
tx
m
m
m
ϕ
λ
=
∂
∂
∫∫
∂
∂
=
∂
∂
T
m
m
T
m
m
m
dttptx
tx
dttp
tx
tx
00
.)()(
)(
)(
)(
)(
λλ
Однако, подставляем в наше выражение:
∫∫
=
TT
mmm
dttptxtdttpttx
00
,)()()(2)()()(2
ϕϕ
и подставляем это в выражение для модели
∑
=
=
N
k
kkm
ttx
0
)()(
ϕλ
{}
∑
∫∫
=
=−
N
k
T
m
m
T
mkk
dttptxtdttptt
0
0
0)()()(2)()()(2
ϕϕϕλ
. (1.57)
То есть, чтобы отыскать параметры
λ
k
, необходимо решить систему
(N+1) уравнений с (N+1) неизвестными, что достаточно неудобно. Но
существует и другой путь.
Если выполняется условие ортогональности базисных функций,
∫
==
≠
=
T
mmk
mk
mkdttptt
mk
dttptt
0
,)()()(
,0
)()()(
βϕϕ
ϕϕ
то наше выражение примет вид:
∫∫
=−
TT
mmm
dttptxtdttpt
00
2
,0)()()()()(
ϕϕλ
     Станем рассматривать сигнал на 0 ≤ t ≤ T отрезке, а в качестве критерия
адекватности модели возьмем величину ∆ = ∫o {x т (t ) − x(t )}2 dt – квадратичную
                                             T



погрешность или взвешенную квадратичную погрешность
                                                           2
                      δ = ∫ {xт (t ) − x(t )} p (t )dt ,
                                  T

                                  o
                                                                                                                                   (1.56)

     p(t) – весовая функция, выбираемая из технических условий и вводимая
для того, чтобы на данном временном отрезке обеспечить наилучшую
адекватность модели.
                                  T                                T                    T
                      δ = ∫ xm2 (t ) p(t )dt − 2∫ xт (t ) p(t )dt + ∫ x2 (t ) p(t )dt.
                                  o                                o                    o

     Рассмотрим δ как функцию параметров модели λ: δ>0, δ - квадратичная
форма и поэтому имеет единственный экстремум.
           Условия экстремума функции нескольких переменных:
           ∂δ
                = 0,           ( m = o, N )
           ∂λm
           ∂δ         T          ∂x (t )         T ∂x (t )
                = 2 ∫ xm (t ) m p (t )dt − 2 ∫       m
                                                           x(t ) p (t )dt = 0
           ∂λm        0            ∂λm           0  ∂λm
           ∂xm (t )               T      ∂x (t )         T ∂x (t )
                    = ϕ m (t ), ∫ xm (t ) m p (t )dt = ∫     m
                                                                     x(t ) p (t )dt.
            ∂λm                  0        ∂λm           0   ∂λm
          Однако, подставляем в наше выражение:
             T                                         T
          2∫ xm (t )ϕ m (t ) p(t )dt = 2∫ ϕ m (t ) x(t ) p(t )dt ,
            0                                          0



          и подставляем это в выражение для модели
                       N
          xm (t ) = ∑ λkϕ k (t )
                      k =0


   N

  ∑              ∫ {ϕ                                                  }−
                  T                                                                 T
          λk 2
                  0
                                  k   ( t )ϕ   m   ( t ) p ( t ) dt         2   ∫   m
                                                                                        ϕ   m   ( t ) x ( t ) p ( t ) dt = 0   .   (1.57)
  k = 0



     То есть, чтобы отыскать параметры λk, необходимо решить систему
(N+1) уравнений с (N+1) неизвестными, что достаточно неудобно. Но
существует и другой путь.
     Если выполняется условие ортогональности базисных функций,

                          T                                                0, k ≠ m
                      ∫0
                         ϕ k (t )ϕ m (t ) p(t )dt = 
                                                    ϕ k (t )ϕ m (t ) p(t )dt = β m , k = m
          то наше выражение примет вид:
                              T                                T
                      λm ∫ ϕ m2 (t ) p(t )dt − ∫ ϕ m (t ) x(t ) p(t )dt = 0,
                              0                                0




                                                                                                                                      31

Страницы