Методы и средства оперативного анализа случайных процессов. Пивоваров Ю.Н - 37 стр.

                                Эргодические случайные процессы

     Выше был рассмотрен вопрос об определении свойств случайного
процесса путем осреднения по ансамблю в отдельные моменты времени.
Однако, во многих случаях представляется возможным описать свойства
стационарного случайного процесса путем осреднения по времени отдельных
достаточно продолжительных реализаций ансамбля. Рассмотрим, например,
К-ю выборочную функцию случайного процесса, изображенного на рисунке .
Математическое ожидание mx(t) и автокорреляционная функция этой
реализации Rx(τ,k) определяется выражениями
                                T
                           1
           M x (k ) = lim ∫ X k (t )dt ,                          (1.60)
                      T →∞ T
                             0
                                    T
                             1 0          0
           R x (τ , k ) = lim
                        T →∞ T ∫
                               0
                                 X k (t ) X k (t + τ )dt .

      Если случайный процесс {X(t)} стационарен и mx(t) и Rx(τ,k),
определенные формулами (1.60), одинаковы для всех реализаций, то
случайный процесс {X(t)} называется эргодическим. Для эргодического
случайного процесса среднее значение и автокорреляционная функция (а
также другие моменты, определяемые осреднением по времени) равны
соответствующим средним по ансамблю: mx(k)=mx, Rx(τ,k)=Rx(τ). Заметим,
что только стационарные процессы могут обладать свойством эргодичности.
      Эргодические процессы представляют важную разновидность
сигналов, так как все их свойства могут быть определены осреднением по
времени одной единственной реализации (хотя и непременно достаточно
продолжительной).
      На практике процессы, соответствующие стационарным случайным
явлениям, как правило, обладают свойством эргодичности, что позволяет
правильно определить характеристики стационарного случайного процесса
по одной выборочной реализации.

                            Нестационарные случайные процессы

     К нестационарным относятся все случайные процессы, упомянутые в
приведенной выше классификации, не обладающие свойства стационарности
хотя бы в широком смысле. Характеристики нестационарного процесса в
общем случае представляют собой некоторые функции времени, определить
которые можно только осреднением по ансамблю реализации, образующих
процесс. В практических задачах часто представляется невозможными
получить достаточно большое число реализации для отыскания
характеристик процесса с необходимой достоверностью. Это обстоятельство
препятствует развитию практическим методов оценивания и анализа
нестационарных случайных процессов.
     Во многих случаях в классе нестационарных процессов,
соответствующих реальным физическим явлениям, можно выделить особые
                                                                     37