Методы и средства оперативного анализа случайных процессов. Пивоваров Ю.Н - 38 стр.

типы нестационарности, для которых задача оценивания и анализа
упрощается. Например, некоторые случайные явления описываются
нестационарными случайным процессом {Y(t)}, каждая реализация которого
имеет вид Y(t)=A(t)X(t), где X(t) – реализация стационарного случайного
процесса {X(t)}, A(t) - детерминированный множитель.
      Процессы такого типа имеют общий детерминированный тренд. Если
нестационарный процесс соответствует конкретной модели такого типа, то
для его описания нет необходимости производить осреднение по ансамблю:
любые требуемые характеристики можно оценить по одной реализации, как
и для эргодических процессов.

                                                Стационарные реализации

      Понятие стационарности, рассмотренное выше, связано с осреднением
по ансамблю характеристик случайного процесса. Однако на практике часто
приходится решить вопрос о стационарности и нестационарности процесса,
представленного всего одной реализацией. В этом случае используется
несколько отличное от приведенного выше понятие стационарности. Когда
речь идет о стационарности одной выборочной функции, то это означает, что
характеристики, рассчитанные по коротким временным интервалам, не
меняются значительно для различных интервалов. Термин «значительно»
используется здесь для обозначение того факта, что наблюдаемые изменения
больше, чем можно ожидать за счет обычной выборочной статистической
изменчивости.
      Для разъяснения этого рассмотрим реализацию Xk(t), полученную по
К-й реализации случайного процесса X(t). Определим математическое
ожидание и автокорреляционную функцию осреднением по времени на
коротком интервале продолжительности Т при начальном моменте t:
                              t +T
                          1
           m x (t , k ) =
                          T    ∫X
                               t
                                     k   (t )dt ,                           (1.61)
                                         t +T
                                     1           0      0
           R x (t , t + τ , k ) =
                                     T    ∫
                                          t
                                                X k (t ) X k (t + τ )dt .

       В общем случае, когда выборочные характеристики, определенные
формулами (1.61), меняются значительно при изменении начального момента
t, отдельная реализация называется нестационарной. В частном случае, когда
выборочные характеристики, определенные этими формулами, не меняются
значительно при изменении t, реализация называется стационарной
Реализация эргодического процесса всегда стационарна. С другой стороны,
реализации физически важных нестационарных процессов не обладают
свойством стационарности. Следовательно, если предположение об
эргодичности оправдано, то подтверждение свойства стационарности одной
реализации может служить достаточным основанием для допущения
стационарности и эргодичности случайного процесса, к которому
принадлежит данная реализация.

                                                                               38