Методы и средства оперативного анализа случайных процессов. Пивоваров Ю.Н - 40 стр.

     Для двумерной плотности распределения соблюдается соотношение

            f 2 ( x1 ,0; x 2 , t 2 − t1 ) = f 2 ( x1 , t1 ; x 2 , t 2 ) .                                                (1.63)

      То есть плотность вероятности зависит не от времени, а от временного
сдвига между сечениями, а одномерная плотность распределения вообще не
зависит от какого – либо временного аргумента:

            f1 ( x1 , t1 ) = f1 ( x1 ,0) .                                                                               (1.64)

     Вместо плотностей вероятностей для описания случайных процессов
можно использовать и характеристические функции, представляющие собой
преобразования Фурье от соответствующих плотностей распределения. Так,
например,    N–мерная    характеристическая   функция     определяется
соотношением:
                                                              ∞ ∞       ∞
           ϕ n (u1 , u 2 ,..., u N ; t1 , t 2 ,...t N ) =     ∫ ∫ ... ∫ exp( j (u x
                                                              − ∞− ∞    −∞
                                                                                     1 1   + u 2 x 2 + ... + u N x N *

           * f ( x1 , t1 ;...; x N , t N )dx1 dx 2 ...dx N = M [exp( ju1 x1 + ju 2 x 2 + ... + ju N x N )] .             (1.65)

     Отметим, что для независимых случайных величин характеристическая
функция системы равна произведению характеристических функций
величин, составляющих систему.
     Иногда вместо плотностей вероятностей используют интегральные
законы распределения – функции распределения. Одномерная функция
распределения определяет относительную долю значений xi(t),I=1,2,3,….,
которые меньше некоторой величины Xi:
                               x1

           F1 ( x1 , t1 ) =    ∫ f (u, t )du .
                               −∞
                                           1                                                                             (1.66)
     Очевидно, что для значений X1, в которых функция F(X1, t1)
дифференцируема, справедливо равенство

                              ∂F1 ( x1 , t1 )
            f1 ( x1 , t ) =                   .                                                                          (1.67)
                                 ∂x1
     Двумерная функция распределения определяется соотношением
                                          ∞ ∞
           F2 ( x1 , t1 , x 2 , t 2 ) =   ∫ ∫ f (u , t , u
                                          − ∞− ∞
                                                      1   1      2   , t 2 )du1 du 2 ,                                   (1.68)
     откуда следует, что

                                          ∂ 2 F2 ( x1 , t1 , x 2 , t 2 )
            f 2 ( x1 , t1 , x 2 , t 2 ) =                                ,                                               (1.69)
                                                  ∂x1∂x 2


                                                                                                                            40