Физика проводников и диэлектриков. Плотников В.П. - 22 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

4.2.3 Распределение электронов в металле. Энергия Ферми
В выражение (4.3), определяющее функцию распределения в квантовой статистике Ферми-Дирака,
входит величина
F
E , которую называют уровнем или энергией Ферми.
Рассмотрим свойства функции (4.3) при абсолютном нуле )0( KT
=
:
1)(
=
Ef
, (4.18)
если Е < E
F
(так как в этом случае выражение в знаменателе 0→
−
kT
EE
F
e ).
0)(
=
Ef , (4.19)
если Е > E
F
(так как ∞→
−
kT
EE
F
e ), т.е. при абсолютном нуле все состояния с энергией, меньшей энергии
Ферми, заняты электронами (вероятность их заполнения равна единице), а состояния с энергией, боль-
шей энергии Ферми, – свободны (вероятность заполнения равна нулю). Отсюда следует, что энергия
Ферми – это максимальная энергия, которую могут иметь электроны в металле при KT 0= .
На рис. 4.2, а приведен ступенчатый график функции распределения )(Ef при KT 0= . При значении
энергии электрона, равном
F
E , функция )(Ef скачком обращается в ноль.
а) б)
Рис. 4.2
Далее запишем полную функцию распределения Ферми-Дирака при абсолютном нуле, подставив в
(4.6) выражения (4.18) и (4.16):
dEEm
h
V
dEEN
2
1
2
3
3
)2(
4
)(
π
= . (4.20)
График функции
)(EN представлен на рис. 4.2, б. Площади под графиками на рис. 4.2 соответству-
ют заполненным электронами энергетическим состояниям.
Проинтегрировав выражение (4.20) в пределах от 0 до
F
E , получим полное число электронов N ,
заполняющих уровни до уровня Ферми, а так как других электронов на более высоких уровнях просто
нет, то N будет равно и полному числу свободных электронов в металле
.)2(
3
8
2
3
2
3
3
mE
h
V
N
F
π
=
(4.21)
Поделив обе части (4.21) на объем V , найдем концентрацию свободных электронов
2
3
2
3
3
)2(
3
8
mE
h
n
F
π
=
, (4.22)
откуда определим энергию Ферми
3
2
2
8
3
2
π
=
n
m
h
E
F
. (4.23)
Функция распределения )(Ef очень слабо зависит от температуры. Ее вид при KT 0≠ представлен
на рис. 4.3. Спад зависимости от единицы до нуля происходит в узком
интервале энергий порядка kT с
центром в точке
F
E . Чем выше
температура, тем более полого идет данный участок кривой.
E
F
E
0
)(Ef
1
)
a
E
0
F
E
)(EN
)
б
∼
kT
0
2
1
1
E
F
E
)(
E
f
. 4.3

Страницы