Физика проводников и диэлектриков. Плотников В.П. - 47 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

ΘΘπ=ΘΘπ= dRRdRdS sin2sin2
2
. (6.27)
При отсутствии электрического поля направления всех векторов поляризации отдельных молекул p
r
равновероятны. Тогда число молекул dn в единице объема, чьи векторы поляризации оканчиваются в
пределах выделенного кольца, будет пропорционально площади этого кольца:
ΘΘ
=
dCdn sin , (6.28)
где С – некоторая постоянная, в которую вошло и выражение
2
2 Rπ из (6.27).
Под действием электрического поля (в общем случае любого силового поля) распределение (6.28)
изменяется в соответствии с теоремой Больцмана из классической статистики в
−
kT
U
exp
раз, где
−
U
потенциальная энергия молекулы в данном поле.
В соответствии с известным из электростатики выражением, потенциальная энергия диполя в элек-
трическом поле равна
Θ
−
=
cospEU . (6.29)
Тогда распределение (6.28), с учетом теоремы Больцмана и формулы (6.29), приобретает вид
(
)
ΘΘ
Θ
=
daCdn sincosexp , (6.30)
где произведена подстановка
kT
pE
a
= . (6.31)
Поляризация диэлектрика, т.е. дипольный момент единицы объема будет равен
∫∫∫
π
ΘΘΘΘ=Θ==
0
sin)cosexp(coscos daCpdnpdnpP
E
, (6.32)
где
E
p – величина составляющей вектора дипольного момента отдельной молекулы по направлению
электрического поля (см. рис. 6.2).
С другой стороны, эту же величину
P
можно представить, как
∫∫
π
ΘΘΘΘ=Θ=
0
sin)cosexp(coscos daCppdnP , (6.33)
где Θcos – некоторое ожидаемое или усредненное значение косинуса угла между векторами каждого
диполя и направлением поля.
Выразим Θcos , приравняв предварительно правые части (6.32) и (6.33):
∫
∫
π
π
ΘΘΘ
ΘΘΘΘ
=Θ
0
0
sin)cosexp(
sin)cosexp(cos
cos
da
da
. (6.34)
Вычисление интегралов приводит к решению вида
)(
1
cth
)exp(exp
)exp(exp
cos aL
a
a
aa
aa
≡
−=
−−
−+
=Θ
, (6.35)
где −acth гиперболический котангенс; )(aL – функция Ланжевена, которая используется для описания
ориентации диполей в диэлектриках и в парамагнитных материалах.
В обычных условиях даже в сильных полях а<<1, тогда при разложении в ряд acth можно ограни-
читься двумя членами разложения
...
453
1
cth
2
+−+=
aa
a
a .
Тогда, в соответствии с (6.35), функция Ланжевена принимает вид
kT
pEa
aL
33
)(cos
==≡Θ
(a<<1). (6.36)
Отсюда поляризация диэлектрика, то есть дипольный момент единицы объема будет равен
kT
Enp
pnP
3
cos
2
=Θ= , (6.37)
а диэлектрическая восприимчивость

Страницы