Математическая статистика. Плотникова С.В. - 5 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

1 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ. ВАРИАЦИОННЫЕ РЯДЫ
И ИХ ГРАФИЧЕСКОЕ ИЗОБРАЖЕНИЕ
Генеральной совокупностью называется вся подлежащая изучению совокупность объектов (наблю-
дений). Выборочной совокупностью, или просто выборкой, называется совокупность случайно отобран-
ных из генеральной совокупности объектов.
Повторной называют выборку, при которой отобранный объект (перед отбором следующего) воз-
вращается в генеральную совокупность. Бесповторной называют выборку, при которой отобранный
объект в генеральную совокупность не возвращается. На практике обычно пользуются бесповторным
случайным отбором.
Объемом совокупности (выборочной или генеральной) называется число объектов в этой совокуп-
ности.
Различные наблюдаемые значения признака (случайной величины Х) называют вариантами (обо-
значаем их через х
i
).
Числа, показывающие, сколько раз встречаются варианты из данного интервала, называются час-
тотами (обозначаются n
i
), тогда объем выборки можно определить как n =
∑
.
i
n Отношение частот к
объему выборки w
i
= n
i
/n называют относительными частотами.
Последовательность вариант, записанных в порядке возрастания или убывания с соответствующи-
ми им частотами (или относительными частотами) называется вариационным рядом.
Вариационный ряд называется дискретным, если любые его варианты отличаются на постоянную
величину, и непрерывным (интервальным), если его значения могут отличаться одно от другого на
сколь угодно малую величину.
Для наглядности строят различные графики статистического распределения, и, в частности, поли-
гон и гистограмму.
Полигон, как правило, служит для изображения дискретного вариационного ряда, и представляет
собой ломаную, в которой концы отрезков имеют координаты (x
i
, n
i
, или x
i
, w
i
).
Гистограмма служит для изображения интервальных вариационных рядов и представляет собой
ступенчатую фигуру из прямоугольников с основаниями, равными интервалам значений признака (x
i – 1
,
x
i
), и высотами, равными частотам n
i
(или относительным частотам w
i
) интервалов. Если соединить се-
редины верхних оснований прямоугольников отрезками прямой, то можно получить полигон того же
распределения.
2 ТОЧЕЧНЫЕ И ИНТЕРВАЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
Пусть требуется изучить количественный признак X генеральной совокупности. Предполагается,
что из теоретических соображений известно, какой именно вид имеет распределение признака X, однако
неизвестно значение некоторого параметра θ, характеризующего это распределение (например, это па-
раметр λ в распределении Пуассона, или параметр p в биномиальном распределении). Обычно в распо-
ряжении исследователя имеются лишь данные выборки, т.е. значения количественного признака x
1
, x
2
,
..., x
n
полученные в результате n независимых наблюдений. Через эти данные и выражают оцениваемый
параметр. Значения x
1
, x
2
, ..., x
n
можно рассматривать как реализации n независимых случайных вели-
чин X
1
, X
2
, ..., X
n
, каждая из которых имеет тот же закон распределения, что и сама случайная величина
X.
Статистической оценкой
*
n
θ неизвестного параметра θ генеральной совокупности называют функ-
цию наблюдений над случайной величиной X:
*
n
θ =
*
n
θ ( X
1
, X
2
, …, X
n
). Поскольку X
1
, X
2
, …, X
n
– случай-
ные величины, то и оценка
*
n
θ
также является случайной величиной, в отличие от оцениваемого пара-
метра θ, который является величиной неслучайной, детерминированной.
Оценка
*
n
θ называется несмещенной, если ее математическое ожидание равно оцениваемому пара-
метру, т.е. М(
*
n
θ ) = θ. В противном случае оценка называется смещенной.
Несмещенная оценка
*
n
θ называется эффективной, если она имеет наименьшую дисперсию среди
всех возможных несмещенных оценок параметра θ, вычисленных по выборкам одного и того же объема
n.

Страницы