Математическая статистика. Плотникова С.В. - 6 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Оценка
*
n
θ называется состоятельной, если она удовлетворяет закону больших чисел, т.е. сходится по
вероятности к оцениваемому параметру:
1)|(|lim
*
=ε<θ−θ
∞→
n
n
P для любого ε > 0.
В качестве статистических оценок параметров генеральной совокупности желательно использо-
вать оценки, удовлетворяющие одновременно требованиям несмещенности, состоятельности и эффек-
тивности. Однако иногда для простоты расчетов целесообразно применять оценки, обладающие боль-
шей дисперсией по сравнению с эффективными оценками, или незначительно смещенные оценки и т.п.
Генеральной средней x конечной генеральной совокупности называют среднее арифметическое
значений признака генеральной совокупности. В случае бесконечной генеральной совокупности под
генеральной средней понимается математическое ожидание распределения признака X.
Пусть из генеральной совокупности объема n отобрана случайная выборка X
1
, X
2
, ..., X
n
... . Опреде-
лим выборочную среднюю
в
x , которая является несмещенной и состоятельной оценкой генеральной сред-
ней:
в
x = ( X
1
+ X
2
+
+ ...+ X
n
)/n. Отметим, что на практике в целях упрощения расчетов используют и
другие оценки генеральной средней, например, медиану – значение признака, приходящееся на середи-
ну вариационного ряда. При нормальном распределении признака в генеральной совокупности медиана
является несмещенной оценкой генеральной средней, однако эффективной оценкой является выбороч-
ная средняя. После проведения наблюдений получаем реализацию случайной величины
в
x , которую для
простоты также обозначим
в
x .
Если все значения x
1
, x
2
, ..., x
n
признака выборки объема n различны, то
в
x = (x
1
+ x
2
+ ... + x
n
) / n. (2.1)
Если же значения признака x
1
, x
2
, ..., x
k
имеют соответственно частоты n
1
, n
2
, ..., n
k
, причем n = ,
∑
i
n
то
в
x = ( n
1
x
1
+ n
2
x
2
+ ...+ n
k
x
k
) / n. (2.2)
В качестве характеристики разброса значений количественного признака X вокруг своего среднего
значения используется дисперсия. В случае конечной генеральной совокупности генеральной дисперси-
ей D = σ
2
называют среднее арифметическое квадратов отклонений значений признака генеральной со-
вокупности от их среднего значения x . В случае бесконечной генеральной совокупности под генераль-
ной дисперсией понимается дисперсия признака X в генеральной совокупности.
Выборочной дисперсией D
в
называют среднее арифметическое квадратов отклонений наблюдаемых
значений признака от их среднего значения
в
x . После проведения наблюдений получаем реализацию слу-
чайной величины D
в
, конкретное значение которой находим по следующим формулам.
Если все значения x
1
, x
2
, ..., x
n
признака выборки объема n различны, то
nxxD
n
i
i
/
1
2
вв
)(
−=
∑
=
. (2.3)
Если же значения признака x
1
, x
2
, ..., x
k
имеют соответственно частоты n
1
, n
2
, ..., n
k
, причем n = ,
∑
i
n
то
nxxnD
k
i
ii
/
1
2
вв
)(
−=
∑
=
. (2.4)
Если в качестве оценки генеральной дисперсии использовать выборочную дисперсию, то эта оценка
будет приводить к систематическим ошибкам, давая заниженное значение генеральной дисперсии. Объ-
ясняется это тем, что выборочная дисперсия является смещенной оценкой генеральной дисперсии, т.е.
D
n
n
DM
1
)(
в
−
=
.

Страницы