Математическая статистика. Плотникова С.В. - 8 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

n
snT )1;1(
−
γ
−
=δ
, (2.10)
где значение числа T(1 – γ; n –1) определяется по таблице критических точек распределения Стьюдента
при уровне вероятности α = 1 – γ и числе степеней свободы n – 1.
Доверительный интервал для среднеквадратического отклонения σ нормального распределения
имеет вид
χ
−
χ
−
∈σ
12
1
;
1 nsns
, (2.11)
где значения
2
1
χ
и
2
2
χ
находятся по таблице критических точек распределения χ
2
при числе степеней
свободы n – 1 и уровнях вероятности (1 + γ) /2 и (1 – γ) /2 соответственно.
3 Проверка гипотез
Статистической гипотезой называется любое предположение о виде неизвестного распределения
или о параметрах закона распределения.
Например, статистическими являются гипотезы:
1) генеральная совокупность распределена по нормальному закону;
2) дисперсии двух нормальных совокупностей равны между собой;
3) математическое ожидание признака Х нормально распределенной генеральной совокупности рав-
но 25,5.
Нулевой (основной) называют Н
0
. Наряду с выдвинутой гипотезой рассматривают и противореча-
щую ей гипотезу. Если выдвинутая гипотеза Н
0
будет отвергнута, то имеет место противоречащая ей
гипотеза Н
1
. Гипотеза Н
1
называется конкурирующей (альтернативной).
Для проверки нулевой гипотезы используют специально подобранную случайную величину (стати-
стический критерий). В зависимости от вида распределения критерий обозначают через U (если он рас-
пределен по нормальному закону), T (если он распределен по закону Стьюдента), F (если он распреде-
лен по закону Фишера–Снедекора) и т.д. Здесь в целях общности обозначим статистический критерий
через К. Наблюдаемым значением критерия называют значение критерия, вычисленное по выборкам,
т.е. К
набл
= К(x
1
, x
2
, ..., x
n
).
После выбора критерия множество всех его возможных значений разбивают на два подмножества:
одно из них содержит значения критерия, при которых нулевая гипотеза отвергается (критическая об-
ласть), а другое содержит те значения критерия, при которых гипотеза принимается (область принятия
гипотезы).
Основной принцип проверки статистических гипотез можно сформулировать так: если наблюдае-
мое значение критерия принадлежит критической области, то нулевую гипотезу отвергают в пользу
конкурирующей гипотезы; если наблюдаемое значение критерия принадлежит области принятия гипо-
тезы, то нулевую гипотезу принимают. При этом возможны четыре случая (табл. 3.1).
Таблица 3.1
Гипотеза Н
0
Принимается Отвергается
Верна Правильное решение Ошибка 1-го рода
Не верна Ошибка 2-го рода Правильное реше-
ние
Вероятность α допустить ошибку 1-го рода, т.е. отвергнуть гипотезу Н
0
, когда она верна, называет-
ся уровнем значимости критерия.
Вероятность допустить ошибку 2-го рода, т.е. принять гипотезу Н
0
, когда она неверна, обозначают β.
Вероятность 1 – β не допустить ошибку 2-го рода называется мощностью критерия.
Вероятности ошибок 1-го и 2-го рода определяются выбором критической области. При фиксиро-
ванном объеме выборки уменьшение ошибки 1-го рода α неизбежно приводит к увеличению ошибки 2-
го рода β, и наоборот. Лишь при увеличении объема выборки возможно одновременное уменьшение ве-
роятностей α и β.
Поскольку критерий К – одномерная случайная величина, все ее возможные значения принадлежат

Страницы