Математическая статистика. Плотникова С.В. - 7 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Несмещенной оценкой генеральной дисперсии является исправленная выборочная дисперсия
∗
в
D = s
2
= nD
в
/(n –1). (2.5)
Если все значения x
1
, x
2
, ..., x
n
признака выборки объема n различны, то
1
)(
1
2
в
2
в
−
−
==
∑
=
∗
n
xx
sD
n
i
i
. (2.6)
Если же значения признака x
1
, x
2
, ..., x
k
имеют соответственно частоты n
1
, n
2
, ..., n
k
, то
1
)(
1
2
в
2
в
−
−
==
∑
=
∗
n
xxn
sD
k
i
ii
. (2.7)
Обе предложенные оценки – выборочная дисперсия и исправленная выборочная дисперсия – явля-
ются состоятельными оценками генеральной дисперсии, и разница между ними заметна лишь при не-
большом числе наблюдений n. При n > 30 в качестве оценки для D вполне можно использовать D
в
. В
случае нормально распределенной генеральной совокупности обе эти оценки также являются асимпто-
тически эффективными, т.е. при ∞→n они будут стремиться к эффективной оценке.
Точечной называют оценку параметра θ генеральной совокупности, которая определяется одним
числом. Оценки, рассмотренные выше – точечные. Однако точечная оценка
*
n
θ является лишь прибли-
женным значением неизвестного параметра θ, и при выборке малого объема точечная оценка может
значительно отличаться от оцениваемого параметра.
Чтобы получить представление о точности и надежности оценки
*
n
θ параметра θ пользуются интер-
вальными оценками.
Интервальной оценкой параметра θ называют числовой интервал ),(
)2*()1*(
nn
θθ , который с заданной ве-
роятностью γ накрывает неизвестное значение параметра θ (рис. 2.1). Такой интервал называется дове-
рительным, а вероятность γ называется доверительной вероятностью, или надежностью оценки.
Рис. 2.1
Границы доверительного интервала и его длина находятся по выборочным данным, и являются
случайными величинами. Величина доверительного интервала уменьшается с ростом объема выборки n
и увеличивается с ростом доверительной вероятности γ.
Если количественный признак генеральной совокупности X имеет нормальное распределение, то
доверительный интервал для математического ожидания имеет вид
.);(
вв
δ
+
δ
−
∈
xxx (2.8)
В случае, когда генеральная дисперсия D = σ
2
является известной величиной (например, это задан-
ная заранее ошибка измерительного прибора), то точность оценки δ находится по формуле
n
tσ
=δ
, (2.9)
где число t определяется из равенства Φ(t) = γ/2, т.е. по таблице функции Лапласа находят значение ар-
гумента t, которому соответствует значение функции Лапласа γ/2.
В случае, когда генеральная дисперсия неизвестна, а известна лишь ее исправленная выборочная
оценка
*
в
D = s
2
, то точность оценки δ находится по формуле
θ
)1(∗
θ
n
)2(∗
θ
n

Страницы