ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
3
1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ МЕТРИЧЕСКОГО ПРОСТРАНСТВА
И НЕКОТОРЫЕ ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ В НЁМ
1.1. Понятие метрического пространства
Известно, насколько плодотворна идея расстояния в эвклидовой
геометрии. С понятием расстояния между точками связаны такие её
факты как теорема Пифагора, подобие фигур, измерение площадей,
объёмов и т.д.
Оказывается, что и множество объектов произвольной природы
можно
изучать с точки зрения взаимного расположения его элементов,
если ввести в нём понятие расстояния (метрики).
Определение 1.1. Множество X называется метрическим про-
странством, если любым двум его элементам х и у поставлено в со-
ответствие действительное число ρ(x,y) (метрика) так, что выпол-
няются следующие аксиомы:
1)
()
0, ≥ρ yx, причём
(
)
yxyx =⇔=ρ 0, (аксиома неотрца-
тельности и тождественности);
2)
()
(
)
xyyx ,, ρ=ρ (аксиома симметрии);
3)
()
(
)
(
)
yzzxyx ,,, ρ+ρ≤ρ (аксиома треугольника).
Рассмотрим некоторые примеры метрических пространств.
Пример 1.1. Множество действительных чисел R образует мет-
рическое пространство с метрикой
(
)
yxyx −=ρ ,.
Проверим выполнение аксиом метрического пространства. В
самом деле,
∀
∈
xy, R ρ(х, у) = |х − у| ≥ 0. Пусть
(
)
0, =−=ρ yxyx ,
тогда
x
y
= . Обратно, пусть yx
=
, тогда
()
0, =−=ρ yxyx .
Очевидно, что
(
)
(
)
xyxyyxyx ,, ρ=−=−=ρ .
Наконец, выполняется и аксиома треугольника
()
(
)
(
)
yzzxyxyx −+−=−=ρ ,
(
)
(
)
yzzxyzzx ,, ρ+ρ=−+−≤ .
Пример 1.2. Множество точек плоскости можно метризовать,
если расстояние между точками
(
)
,,
111
yxM
(
)
222
, yxM ввести по фор-
муле
(
)
{
}
212121
,max, yyxxMM −−=ρ .
Во-первых, выполняется первая аксиома метрического про-
странства. Для
(
)
(
)
222111
,,, yxMyxM∀
{
}
0,max
2121
≥−− yyxx .
