Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных. Подскребко Э.Н - 4 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

4
Пусть для определённости
{
}
212121
,max xxyyxx −=−− .
Тогда, если
(
)
0,
21
=ρ MM , то 0
21
=− xx , откуда
21
xx = , следо-
вательно, и
21
yy = , а значит
21
MM = . Пусть теперь
21
MM = , тогда
21
xx = ,
21
yy = и
(
)
{
}
0,max,
212121
=−−=ρ yyxxMM .
Во-вторых, очевидно, что
(
)( )
1221
,, MMMM ρ=ρ .
В-третьих, выполняется и третья аксиома метрического про-
странства. Пусть, например,
()
{
}
21212121
,max, yyyyxxMM −=−−=ρ .
Тогда
()
(
)( )
≤−+−=−=ρ
23312121
, yyyyyyMM
{
}
≤−+−≤ − − +yy yy xxyy
13 32 1313
max ,
{
}
(
)
(
)
23312323
,,,max MMMMyyxx ρ+ρ=−−+ .
Множество X, состоящее из упорядоченных наборов n чисел
(x
1
, x
2
, …, x
n
), можно метризовать различными способами. Рассмотрим
наиболее часто встречающиеся.
Если
()
n
xxxM ,,,
21
K и
(
)
XxxxM
n
∈
00
2
0
10
,,, K , то приняты сле-
дующие обозначения:
1.
=X
n
R , если
()
()
∑
=
−=ρ
n
i
ii
xxMM
1
2
0
0
,
.
2. X =
n
0
R , если
(
)
0
1
0
max,
ii
ni
xxMM −=ρ
≤≤
.
3. =X
n
1
R , если
()
∑
=
−=ρ
n
i
ii
xxMM
1
0
0
,.
Пример 1.3. Множество функций, непрерывных на
[
]
ba, , мож-
но метризовать, если расстояние ввести по формуле
(
)
[]
(
)()
tytxyx
bat
−=ρ
∈ ,
max,
.
В самом деле, для
(
)
(
)
tytx ,∀ , непрерывных на
[
]
ba, ,
(
)
(
)
(
)
tytx −
есть непрерывная функция, которая по теореме Вейерштрасса достига-
ет на этом отрезке своего наибольшего значения. Следовательно,
[]
() ()
tytx
bat
−
∈ ,
max
существует и неотрицателен.

Страницы