Введение в философию. Поликарпов В.С. - 186 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТТИ ЮФУ | Таганрог

Составители: 

Рубрика: 

186
Особенности соотношения бесконечности и конечного в топологическом пространстве можно про-
иллюстрировать на двумерной модели и модели тора («бублика»). Рассмотрим метрику на куске евклидо-
вой плоскости. Произведя необходимые измерения, например измерив внутренние углы треугольника и
убедившись, что их сумма равна двум прямым, можно было бы, казалось, не только сделать вывод, что
внутренняя кривизна нашего двумерного пространства равна нулю, но также что последнее бесконечно.
Однако измерения дадут в точности тот же результат и в том случае, когда кусок плоскости (например,
лист бумаги) свернут в цилиндр и края листа склеены. Склеивание изменило топологию пространства, но
метрика осталась неизменной (при изгибах она не изменяется). Локальные свойства теперь уже не опре-
деляют глобальные. Пространство теперь в одном направлении конечно (нет сколь угодно большой про-
тяженности) .
Можно пойти еще дальше: изогнуть цилиндр вдоль оси и, склеив еще раз края, получить поверх-
ность «бублика». Полученная поверхность называется тором, чьи топологические свойства отличаются от
топологических свойств цилиндра. Он, так сказать, еще более конечен. Однако дело не только в этом, ибо
сфера тоже «более конечна», чем цилиндр, конечна во всех направлениях, а не только в одном. И все же
топологические свойства тора отличаются не только от топологических свойств цилиндра, но и сферы.
Любую замкнутую линию на поверхности сферы можно стянуть в точку непрерывной деформацией. На
торе существует два класса линий («меридианы» и «параллели»), которые нельзя непрерывной де-
формацией на поверхности стянуть в точку. Такое пространство называется многосвязным, так как оно
как бы состоит из многих (в данном случае - двух) «кусков» (компонентов). Двояким склеиванием мы по-
лучили его из куска обычной односвязпой плоскости. Двумя пересекающимися разрезами его можно пре-
вратить опять в односвязную поверхность, топологически равноценную (в специальной терминологии -
изоморфную) куску плоскости.
Измерения расстояний и углов на куске плоскости и на поверхности цилиндра дают один и тот же
результат - метрика евклидова, но плоскость бесконечна, цилиндр - нет. Измерения на сфере приводят к
выводу, что кривизна положительна и пространство замкнуто, так оно и есть на самом деле. Измерения на
торе дают и положительную, и нулевую, и отрицательную кривизну - в зависимости от того, где эти изме-
рения проводятся (аналогичная ситуация имеет место на поверхности колокола). Воображаемые двумер-
ные обитатели тора могли бы вести жаркие неразрешимые споры о конечности - бесконечности своей
«вселенной». Только в том случае, если бы им удалось совершить несколько «кругосветных путешест-
вий», они могли бы судить о том, насколько сложны глобальные свойства их «вселенной».
Таким образом, в общем случае топологического пространства ни один из различных типов беско-
нечности (бесконечность как безграничность, метрическая бесконечность и пр.) не оказывается до-
статочным. Бесконечность как безграничность не подходит, ибо на сфере и торе нет никаких границ, но
они не бесконечны. Метрическая бесконечность не подходит не только в том случае, когда пространство
таково, что в нем неприменимо понятие расстояния, но нередко и в том случае, когда пространство впол-
не метризуемо. Топологическая бесконечность - новый, очень общий тип бесконечности. Бесконечное в
экстенсивном смысле здесь означает открытое пространство, конечное - закрытое (замкнутое). Экстен-
сивная бесконечность определяется через интенсивную, в конечном счете через понятие бесконечной бли-
зости. Но эта связь менее определенная, чем в случае метрического пространства. Экстенсивная конеч-
ность или бесконечность пространства определяется законом изменения его локальных свойств при пере-
ходе от точки к точке, мерой этих изменений. «В зависимости от того, как выражаются отношения между
точками (закон изменения отношений), можно говорить о той или иной связности пространства — топо-
логической, аффинной, метрической, а также о мере упорядоченности пространства или о его структуре.
Конечность и бесконечность выступают как глобальные структурные характеристики пространства. Те
характеристики, которые сохраняются только при относительно слабых деформациях пространства (изги-
баниях), относятся к классу метрических отношений; те, которые сохраняются при любых деформациях,
сохраняющих целостность пространства, относятся к классу топологических отношений, топологической
связности, топологической структуры»
409
.
Изложенное свидетельствует о том, что существует некая черта, свойство, атрибут окружающего
нас материального мира - реальная бесконечность. В ходе научного познания создаются представления,
понятия, категории, отражающие эту реальную бесконечность в нашем сознании. Бесконечность очень
многогранна, поэтому, рассматривая ее с разных сторон, мы получаем много разных отражений, «проек-
ций» бесконечности (классы и типы бесконечного). В отличие от теологии научная философия не может
предписывать конкретным наукам того, какими должны быть их представления о бесконечности. Одна-
ко, анализируя процесс
познания
бесконечности и создаваемые при этом
понятия,
она влияет на форми-
рование этих понятий. Важной ее задачей является, в частности, синтез разрозненных представлений о
бесконечности по возможности в единое понятие или во всяком случае напоминание о том, что реальный
прообраз всех классов и типов бесконечного един - это реальная бесконечность, которая неисчерпаема.
409
Наан Г.И. Указ. соч. С. 44.

Страницы