Краткий курс высшей математики: Часть 2. Учебное пособие. Пономарева Н.В - 62 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

где – многочлен п-ой степени с неизвестными коэффициентами;
()
xP
n
*
б)
α
– является простым корнем уравнения (26):
чн
y
()
xPхe
n
x *
⋅=
α
;
в)
α
– кратный корень уравнения (26):
чн
y
()
xPxe
n
x *2
α
= .
Задача 7. Найти общее решение уравнения .
()
123 −=
′
−
′′
xeyy
x
Решение:
1) Находим общее решение уравнения −
оо
y 03
=
′
−
′
′
yy :
()
(
)
.
2211
xycxycy
оо
+= .
Для того чтобы найти
(
)
xy
1
и
(
)
xy
2
0
, составляем характеристическое
уравнение для уравнения 3
=
′
−
′′
yy :
3,003
21
2
==⇒=− kkkk ;
xx
eyey
3
2
0
1
,1 === ;
x
оо
eccy
3
21
+= .
2) Находим – частное решение уравнения
чн
y
(
)
123 −=
′
−
′′
xeyy
x
:
.
() ( )
1
1
=
⋅
exf
x
2 −x
1=
α
– не является корнем характеристического уравнения
(
)
baxey
x
чн
+=⇒ ,
где
а и b – неизвестные коэффициенты.
() (
abaxeaebaxey
xxx
чн
++=++=
′
)
,
()
(
)
abaxeaeabaxey
xxx
чн
2++=+++=
′′
.
Подставляем
,
, в неоднородное уравнение:
чн
y
чн
y
′
чн
y
′′
()()
(
)
1232 −=++−++ xeabaxeabaxe
xxx
,
()
(
)
123332 −=−−−++ xeabaxabaxe
xx
,
()
xey
b
a
ab
a
xabax
x
чн
−=⇒
=
−
=
⇔
−=−−
=
−
⇔−=−−− 1
1
,1
12
,22
1222.
(
xeeccy
xx
он
−++= 1
3
21
)
4
– общее решение дифференциального уравнения.
Задача 8. Найти общее решение уравнения . 102
2
+=+
′
−
′′
xуyy
Решение:
62
            где Pn* ( x ) – многочлен п-ой степени с неизвестными коэффициентами;

          б) α – является простым корнем уравнения (26): y чн = eαx ⋅ х Pn* ( x ) ;

          в) α – кратный корень уравнения (26): y чн = e αx x 2 Pn* ( x ) .
          Задача 7. Найти общее решение уравнения y ′′ − 3 y ′ = e x (2 x − 1) .

       Решение:
1) Находим yоо − общее решение уравнения y ′′ − 3 y ′ = 0 : yоо = c1 y1 ( x ) + c2 y2 ( x ). .
   Для того чтобы найти y1 ( x ) и y 2 ( x ) , составляем характеристическое
   уравнение для уравнения y ′′ − 3 y ′ = 0 :
   k 2 − 3k = 0 ⇒ k1 = 0, k 2 = 3 ;

    y1 = e 0 x = 1, y 2 = e 3 x ;

    y оо = c1 + c 2 e 3 x .

2) Находим            y чн        –   частное   решение        уравнения   y ′′ − 3 y ′ = e x (2 x − 1) :
    f ( x ) = e1⋅ x (2 x − 1) .
   α = 1 – не является корнем характеристического уравнения ⇒ yчн= ex (ax+ b) ,
   где а и b – неизвестные коэффициенты.

      ′ = e x (ax + b ) + e x a = e x (ax + b + a ) ,
    y чн

      ′′ = e x (ax + b + a ) + e x a = e x (ax + b + 2a ) .
    y чн

                        ′ , y чн
   Подставляем y чн , y чн    ′′ в неоднородное уравнение:

   e x (ax + b + 2a ) − 3e x (ax + b + a ) = e x (2 x − 1) ,
   e x (ax + b + 2a − 3ax − 3b − 3a ) = e x (2 x − 1) ,

                              − 2a = 2,       a = −1,
   − 2ax − 2b − a = 2 x − 1 ⇔               ⇔         ⇒ y чн = e x (1 − x ) .
                              − 2b − a = −1   b = 1

    yон = c1 + c2 e 3 x + e x (1 − x ) – общее решение дифференциального уравнения.

          Задача 8. Найти общее решение уравнения y ′′− 2 y ′+ 10 у = x 2 + 4 .

          Решение:


                                                                                                     62

Страницы