Краткий курс высшей математики: Часть 2. Учебное пособие. Пономарева Н.В - 64 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

1) Находим общее решение уравнения 0−
оо
y 3 =
′
−
′
′
yy
03
2
=− kk
. Составляем
характеристическое уравнение для этого уравнения:
,
()
⇒
=
=
⇒=−
3
,0
03
2
1
k
k
kk ; .
xx
eyey
3
2
0
1
,1 ===
x
оо
eccy
3
21
1 +⋅=
2) Находим частное решение уравнения :
2
33 xxyy +=
′
−
′′
()
(
)
x
exxxf
02
3 ⋅+= .
0=
α
– является простым корнем характеристического уравнения
(
)
cxbxaxxcbxaxy
чн
++=⋅++=
232
,
cbxaxy
чн
++=
′
23
2
,
baxy
чн
26 +=
′′
.
Подставляем
в данное уравнение:
,
,
..нч
y
′
..нч
y
..нч
y
′′
(
)
22
323326 xxcbxaxbax +=++−+
()()
⇔+=−+−+−
22
332669 xxcbxbaax
−=
−=
−=
⇔
=−
=−
=−
⇔
;
27
11
,
18
11
,
9
1
032
,366
,19
c
b
a
cb
ba
a
xxxy
нч
27
11
18
11
9
1
23
..
−−−= ; xxxeссy
x
он
27
11
18
11
9
1
233
21
−−−+= .
3) Находим те значения
, при которых функция удовлетворяет
начальным условиям
21
, cc
()
он
y
()
27
70
0 =
′
yy
,00 =
:
27
11
9
11
3
1
3
23
2
−−−=
′
xxeсy
x
он
;
()
00
27
11
0
18
11
0
9
1
00
2303
21
=⋅−⋅−⋅−+⇒=
⋅
eccy ,
()
27
70
27
11
0
9
11
0
3
1
3
27
70
0
203
2
=−⋅−⋅−⇒=
′
⋅
ecy ;
64
1) Находим         yоо −         общее        решение       уравнения         y ′′ − 3 y ′ = 0 .    Составляем
   характеристическое уравнение для этого уравнения: k 2 − 3k = 0 ,

                            k1 = 0,
   k (k − 3) = 0 ⇒                    ⇒ y1 = e 0 x = 1, y 2 = e 3 x ; y оо = c1 ⋅ 1 + c 2 e 3 x .
                            k2 = 3

2) Находим частное решение уравнения y ′′ − 3 y ′ = 3 x + x 2 :
               (        )
    f (x ) = 3x + x 2 ⋅ e 0 x .
   α = 0 – является простым корнем характеристического уравнения
          (                  )
   y чн = ax 2 + bx + c ⋅ x = ax 3 + bx 2 + cx ,

     ′ = 3ax 2 + 2bx + c ,
   y чн
     ′′ = 6ax + 2b .
   y чн
   Подставляем yч.н. , yч′ .н. , yч′′.н. в данное уравнение:

                   (                      )
   6ax + 2b − 3 3ax 2 + 2bx + c = 3 x + x 2

   − 9ax 2 + (6a − 6b )x + (2b − 3c ) = 3x + x 2               ⇔

                             1
                       a = −   ,
                              9
     − 9a = 1,      
                            11
   ⇔ 6a − 6b = 3, ⇔ b = − ,
     2b − 3c = 0            18
                            11
                      c = −     ;
                              27

            1     11     11                                   1     11     11
   yч.н. = − x 3 − x 2 −    x;           yон = с1 + с2 e 3 x − x 3 − x 2 −    x.
            9     18     27                                   9     18     27
3) Находим те значения c1 , c 2 , при которых функция yон удовлетворяет
                                           70
   начальным условиям y (0 ) = 0, y ′(0) =    :
                                           27
                        1 2 11  11
     ′ = 3с 2 e 3 x −
   y он                   x − x− ;
                        3    9  27
                                          1 3 11 2 11
   y (0 ) = 0 ⇒ c1 + c 2 e 3⋅0 −            ⋅0 − ⋅0 −    ⋅ 0 = 0,
                                          9     18    27
               70               1       11     11 70
   y ′(0 ) =      ⇒ 3c 2 e 3⋅0 − ⋅ 0 2 − ⋅ 0 −   =   ;
               27               3       9      27 27

                                                                                                            64

Страницы