Краткий курс высшей математики: Часть 2. Учебное пособие. Пономарева Н.В - 63 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

1) Находим
−
оо
y общее решение уравнения 0102
=
+
′
−
′′
yyy .
Характеристическое уравнение для этого уравнения имеет вид
, корни этого уравнения
0
=
102
2
+− kk ik 31
1
−
=
, ik 31
2
+
=
.
xey
x
3cos
1
= , ; . xey
x
3sin
2
= xecxecy
xx
оо
3sin3cos
21
+=
2) Находим
частное решение уравнения :
−
нч
y
.
4102
2
+=+
′
−
′′
xyyy
()
(
)
x
exxf
02
4 ⋅+= .
0=
α
– не является корнем характеристического уравнения.
cbxaxy
нч
++=
2
.
,
baхy
нч
+=
′
2
.
,
ay
нч
2
.
=
′′
.
Подставляем
в неоднородное уравнение:
,
.нч
y
′
.нч
y ,
нч
y
.
′′
()
(
)
410222
22
+=++++− xcbxaxbaxa
4101010242
22
+=+++−− xcbxaxbaxa
()( )
4102241010
22
+=+−+−+ xcbaxabax
=
=
=
⇔
=+−
=−
=
⇔
.
250
97
,
25
1
,
10
1
41022
,0410
,110
c
b
a
cba
ab
a
Следовательно,
250
97
25
1
10
1
2
.
++= xxy
нч
,
()
250
97
25
1
10
1
3sin3cos
2
21
++++= xxxcxcey
x
он
– общее решение
дифференциального уравнения.
Задача 9. Решить задачу Коши:
() ()
27
70
0,00,33
2
=
′
=+=
′
−
′′
yyxxyy .
Решение:
63
1) Находим        yоо −     общее      решение      уравнения            y ′′− 2 y ′+ 10 y = 0 .
   Характеристическое уравнение для этого уравнения имеет вид
   k 2 − 2k + 10 = 0 , корни этого уравнения k1 = 1 − 3i , k 2 = 1 + 3i .

    y1 = e x cos 3 x , y 2 = e x sin 3 x ; y оо = c1e x cos 3 x + c 2 e x sin 3 x .

2) Находим yч.н − частное решение уравнения y ′′ − 2 y ′ + 10 y = x 2 + 4 :

             (       )
    f (x ) = x 2 + 4 ⋅ e 0 x .
   α = 0 – не является корнем характеристического уравнения.
    y ч.н = ax 2 + bx + c ,
    y ч′ .н = 2aх + b ,
    yч′′.н = 2a .

   Подставляем yч.н , yч′ .н , yч′′.н в неоднородное уравнение:

                              (              )
   2a − 2(2ax + b ) + 10 ax 2 + bx + c = x 2 + 4

   2a − 4ax − 2b + 10ax 2 + 10bx + 10c = x 2 + 4

  10ax 2 + (10b − 4a )x + (2a − 2b + 10c ) = x 2 + 4
                                         1
                                    a =    ,
       10a = 1,                         10
                                   
                                        1
   ⇔ 10b − 4a = 0,           ⇔ b = ,
       2a − 2b + 10c = 4               25
                                        97
                                   c = 250 .
                                   
                         1       1       97
Следовательно, yч.н = x 2 +        x+        ,
                        10      25      250
                          1 2 1        97
yон = e x (c1 cos 3 x + c2 sin 3 x ) +
                             x +    x+                                –        общее           решение
                         10      25    250
дифференциального уравнения.

                                                                                                         70
         Задача 9. Решить задачу Коши: y ′′ − 3 y ′ = 3 x + x 2 ,              y (0 ) = 0,   y ′(0 ) =      .
                                                                                                         27
         Решение:


                                                                                                           63

Страницы